Iomadachadh

O Uicipeid
Gearr leum gu: seòladh, lorg

'S e iomadachadh an t-obrachadh àireamhachd a tha a' toirt dhuinn na h-uiread de rud sam bith den aon t-seòrsa. Mas e àireamh a th' ann an rud seo (m.e. 2) agus tha trì uiread dhith:

 2 + 2 + 2 = 6 \,

tha seo air a sgrìobhadh gu cumanta:

 3 \times 2 = 6 \,.

Canar factaran ris na h-àireamhan a tha air an iomadachadh (3 agus 2) agus an toradh ri buil an iomadachaidh (6). 'S urrainnear ainmean àraidh a thoirt don dà fhactar fa leth – an iomarann agus an t-iomadair – ach chionns gu bheil 3 × 2 = 2 × 3 chan eil e gu diofar cò aca tha na iomarann no na iomadair.

'S e roinneadh an t-obrachadh mùiteach ri iomadachadh.


Comharradh iomadachaidh[deasaich | deasaich an tùs]

Far a bheil àireamhan le figearan, tha iomadachadh air a sgrìobhadh le crasgan claon (×), ach ann an ailseabra tha e ro fhurasta an comharra seo agus an litir x a mheasgachadh suas. Thathar a' cleachdadh puing togte (∙) eadar na caochladairean a thèid an iomadachadh ri linn, no chan eilear a' cleachdadh comharra sam bith:

 x \cdot y = xy = x \times y \,

Chan urrainnear puing thogte a chleachdadh le figearan, oir thèid a leughadh mar phuing dheicheach, agus chan e a chòig uiread a trì ach caogad 's a trì a th' ann an 53.

Anns na h-àrd-chànanan coimpiutaireachd, thèid an reul (*) a chleachdadh. B' e sin an comharra iomadachaidh aig FORTRAN, a' chiad àrd-chànan prògramaidh.


Iomadachadh le àireamhan nàdarra[deasaich | deasaich an tùs]

Gabhar m uiread n a sgrìobhadh :

 m \times n = \sum_{k=1}^m n = n + n + \cdots + n \qquad (m dhiubh)

agus san dòigh seo 's e geàrr-sgrìobhadh cur-ris uiread na h-aon àireimh a th' ann an iomadachadh.

 2 \times 5 = 5 + 5 \,
 5 \times 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 \,
 3 \times m = m + m + m \,

Mar a tha cur-ris co-iomlaideach agus co-thiomsach, 's ann a tha iomadachadh.

 xy = yx \,
 (xy)z = x(yz) \,

Agus tha trìtheamh feart cudromach ann. Tha iomadachadh sgaoileach air an obrachadh cuir-ris. Tha seo a' ciallachadh gu bheil:

 x(y + z) = xy + xz \,

Uaireannan, 's e Lagh an Sgaoilidh a chanar ri seo.

Tha feart àraidh aig àireamh a h-aon. 'S e an aon rud, rud sam bith a th' air iomadachadh leis a h-aon.

 1 \times m = m \,
 m \times 1 = 1 + 1 + \cdots + 1 = m \,

Tha briathar sònraichte air àireamh leis an fheart seo ann an ailseabra. Canar eileamaid ionnanachd ris.


Neoni agus na h-àireamhan àicheil[deasaich | deasaich an tùs]

'S e neoni àireamh sam bith a th' air iomadachadh le neoni.

 5 \times 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \,

Agus san aon dòigh, ma tha neoni uiread rud sam bith, chan eil dad ann.

Tha e furasta thuigsinn gu bheil:

 5 \times -1 = -1 + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -5 \,

ach dè as ciall do -1 × 5? Faodaidh sinn am feart co-iomlaideach a chleachdadh, ma tha sinn cinnteach gu bheil iomadachadh co-iomlaideach le àireamhan àicheil, ach bhiodh e nas fheàrr a dh' fhuasgladh le taic Lagh an Sgaoilidh mar a leanas:

 -1 \times 5 = (3 - 4) \times 5 = (3 \times 5) - (4 \times 5) = 15 - 20 = -5 \,

Tha e soilleir cuideachd gu bheil:

 (-1)x = -x = x(-1) \,

Agus ma tha an dà fhactar àicheil:

 (-x)(-y) = (-1)x(-1)y = (-1)(-1)xy = -(-1)xy = xy \,

chionns gur e 1 a th' ann an -(-1). Gus seo a dhearbhadh, smaoinich gu bheil:

 x - x = 0 \,

agus ma tha x = -1, gabhar a sgrìobhadh

 -1 - (-1) = 0 \,

agus ma chuirear a h-aon ri gach taobh:

 -(-1) = 1 \,


Bloighean[deasaich | deasaich an tùs]

Tha e furasta thuigsinn ciamar a dh' iomadaicheas bloigh le àireimh shlàin:

 \begin{array}{rcl}
 0 \times \tfrac{1}{7} & = & 0 \\
 1 \times \tfrac{1}{7} & = & \tfrac{1}{7} \\
 5 \times \tfrac{1}{7} & = & \tfrac{1}{7} + \tfrac{1}{7} + \tfrac{1}{7}+ \tfrac{1}{7} + \tfrac{1}{7} = \tfrac{5}{7} \\
 -3 \times \tfrac{1}{7} & = &-\tfrac{3}{7}
\end{array}

Agus san aon dòigh:

 \tfrac{1}{7} \times 5 = \tfrac{1}{7} (1 + 1 + 1 + 1 + 1) = \tfrac{1}{7} + \tfrac{1}{7} + \tfrac{1}{7}+ \tfrac{1}{7} + \tfrac{1}{7} = \tfrac{5}{7}

Ma tha dà bhloigh ann:

 \begin{array}{rcl}
 \tfrac{a}{b} \times \tfrac{c}{d} & = & \tfrac{1}{b} \times a \times c \times \tfrac{1}{d} \\
 & = & \tfrac{1}{b} \times ac \times \tfrac{1}{d} = \tfrac{1}{b} \times \tfrac{ac}{d} \\
 & = & \tfrac{1}{b} \times \tfrac{bac}{bd} = \tfrac{1}{b} \times b \times \tfrac{ac}{bd} \\
 & = & \tfrac{ac}{bd}
\end{array}

Tha na h-àireamhaichean air an iomadachadh le chèile agus na seòrsaichean air an iomadachadh le chèile agus sin an riaghailt airson dà bhloighe iomadachadh.


Cumhachdan[deasaich | deasaich an tùs]

Far a bheil àireamh air iomadachadh le fhèin thathar ag ràdh gu bheil an àireamh togte ri cumhachd. 'S e uiread an iomadachaidh a th' anns a' chumhachd agus tha seo air a sgrìobhadh mar fhor-sgriobta air an àireimh. Mar eisimpleir:

 x^5 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \qquad \qquad x^3 = x \cdot x \cdot x \,

Tha e soilleir gu bheil:

 x^5 \cdot x^3 = (x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x) \cdot (x \cdot x \cdot x) = x^8 \,

agus sa choitcheannas:

 x^m \cdot x^n = x^{m+n} \,

Tha seo fìor an ann àicheil m no n no nach ann.


Àireamhan deicheach[deasaich | deasaich an tùs]

Gus àireamhan deicheach iomadachadh, 's urrainnear an atharrachadh do shlàn-àireamhan air an iomadachadh le deich air a thogail chun cumhachd. Nuair sin, thèid na slàn-àireamhan an iomadachadh agus na cumhachdan de dheich an iomadachadh fa leth. Mar eisimpleir:

 \begin{array}{rcl}
 3.25 \times 6.173 & = & 325 \times 10^{-2} \times 6173 \times 10^{-3} \\
 & = & 2006225 \times 10^{-5} \\
 & = & 20.06225 
\end{array}

No 's urrainnear an làimhseachadh mar bhloighean cumanta:

 3.25 \times 6.173 = \tfrac{325}{100} \times \tfrac{6173}{1000} = \tfrac{2006225}{100000} = 20.06225 \,


Àireamhan co-fhillte[deasaich | deasaich an tùs]

Gus àireamhan co-fhillte iomadachadh, 's urrainnear feum a dhèanamh de Lagh an Sgaoilidh.

 \begin{array}{rcl}
 (a + ib)(c + id) & = & a(c + id) + ib(c + id) \\
  & = & (ac - bd) + i(ad + bc)
\end{array}

Tha e furasta dhearbhadh gur ann co-thiomsach co-iomlaideach a tha iomadachadh àireamhan co-fhillte. Agus gu bheil e sgaoileach thar cur-ris.

Tha e nas fhasa àireamhan co-fhillte iomadachadh far a bheil iad nan riochd pòlarach.

 ae^{i \alpha} \cdot be^{i \beta} = ab \cdot e^{i(\alpha + \beta)} \,


Comharradh Π[deasaich | deasaich an tùs]

'S urrainnear toradh sreath teirmean a sgrìobhadh leis a' chomharra-thoraidh Π (an litir mòr "pi" bhon aibidil Ghreugais).

 \prod_{i = m}^n x_i = x_m x_{m+1} x_{m+2} \cdots x_{n-1} x_n \,

'S e caochladair brèige a th' ann an i agus e a' gabhail gach luach bho m gu n. Faodaidh sreath den t-seòrsa a' sìneadh gu eicrioch, ged nach biodh seagh aice mur eil toradh a' chiad n teirmean ag aomadh gu luach crìochach mar a dh' fhàsas n gun crìoch. 'S e sin:

 \prod_{i=m}^\infty x_i := \lim_{n \rightarrow \infty} \prod_{i = m}^n x_i

Tha an comharra \lim_{n \rightarrow \infty} (bhon Bheurla limit) a' ciallachadh luach teòr an toraidh mar a thèid tuilleadh theirmean an cur ris an t-sreath-iomadachaidh.