Cur-ris

O Uicipeid
Gearr leum gu: seòladh, lorg
Cur-ris-1.png

’S e cur-ris an t-obrachadh matamataigeach a chuireas dà àireimh ri chèile gus an t-suim a dhèanamh. ’S e sin an àireamh a tha co-ionnan ris an uimhir gu lèir nuair a chuireas dà uimhir ri chèile.

Tha an t-obrachadh air a sgrìobhadh leis a’ chomharra “+” eadar an dà àireimh a thathar a’ cur-ris, mar eisimpleir:

3 + 4.

Faodar seo a leughadh an iomadh dòigh: “cuir-ris trì agus ceithir” no “trì, cuir-ris ceithir” no “cuir ceithir ri trì”. Mar cho-aontar, faodar a leughadh cuideachd gu bheil “a trì ’s a cheithir a’ dèanamh a seachd”:

3 + 4 = 7.

Cur-ris nan àireamhan nàdarra[deasaich | deasaich an tùs]

’S e obrachadh àireamhachd as bunaitich a th’ ann an cur-ris. Tha e a’ leantainn fearta ’s bunaitich aig na h-àireamhan nàdarra. ’S e sin gu bheil gach àireamh na h-aon a bharrachd air an tè a th’ ann roimhpe. Mar eisimpleir, nan sgrìobhte “+ 1” an àite “h-aon a bharrachd air”:

9 = 8 + 1 = (7 + 1) + 1 = (6 + 1) + 1 + 1 = 5 + 1 + 1 + 1 + 1.

Le bhith a’ dol air ais:

(1 + 1) + 1 + 1 = (2 + 1) + 1 = 3 + 1 = 4.

Agus nan cuirte 4 an àite “1 + 1 + 1 + 1” sa cho-aontar os cionn, bheireadh seo dhuinn:

9 = 5 + 4.

’S e a’ chiall seo gu bheil a naoi na ceithir uiread de “h-aon a bharrachd” air a chòig. Canaidh sinn gu bheil i na ceithir a bharrachd air a chòig.

Cur-ris-2.png

Tha e a’ leantainn seo gun cuirear dà àireimh nàdarra ri chèile mar seo,

a + b = c

chionns gum bi àireamh nàdarra ann, can c, a tha b a bharrachd air a (.i. a tha b uiread de h-aon a bharrachd air a). Canaidh sinn cur-ris ris an obrachadh a chuireas dà àireimh ri chèile san dòigh seo.

Co-iomlaideachd cur-ris[deasaich | deasaich an tùs]

’S ann bho na bun-bheachdan sìmplidh os cionn cuideachd a thig am feart cudromach ris an canar co-iomlaideachd. Ma tha àireamh nàdarra air a togail le ath chur-ris na h-àireimh a h-aon, tha e soilleir gu bheil:

Cur-ris-3.png

Agus san choitcheannas, ma tha a agus b nan àireamhan nàdarra, gu bheil:

a + b = b + a.

’S ann ri seo a thathar ag ràdh Lagh Co-iomlaideach Chur-ris, ged tha an “lagh” na thoradh feart cur-ris. Tha obrachaidhean eile ann am matamataig aig nach eil am feart seo agus nach eil a’ cumail ri lagh co-iomlaideach.

Co-thiomsachd cur-ris[deasaich | deasaich an tùs]

’S e obrachadh càraideach a th’ ann an cur-ris. ’S e sin obrachadh dà àireimh, agus dà àireimh a-mhàin. Gus a suas air dà àireimh a chur-ris, bhiodh an treas àireamh air a cur ri suim na dà roimhpe agus gach àireamh eile air a cur ris an t-suim-ruithe:

(3 + 8) + 2 + 13 + 7 + ...
= (11 + 2) + 13 + 7 + ...
= (13 + 13) + 7 + ...
= (26 + 7) + ...

Ach ma thathar a’ cur-ris sreath àireamhan, chan eil e gu diofar ciamar a thathar gan toirt còmhla nam paidhrichean. Seo feart co-thiomsach chur-ris. Sa riochd as sìmplidh:

( a + b ) + c = a + ( b + c )

Mar eisimpleir, ( 3 + 8 ) + 2 = 11 + 2 = 13 = 3 + 10 = 3 + ( 8 + 2 ). Uaireannan thathar ag ràdh Lagh Co-thiomsach Chur-ris no Lagh nan Ceanglaichean Chur-ris ri seo ach, mar a tha an “lagh” co-iomlaideach os cionn, ’s e feart cur-ris a th’ ann.

Neoni agus àireamhan àicheil[deasaich | deasaich an tùs]

’S e neoni an àireamh nach atharraich an dara àireamh ma tha e air a chur rithe. ’S e sin, ma tha

a + x = a

’s e neoni a th’ ann an x:

x = 0.

Tha e soilleir gu bheil:

0 + a = a + 0 = a
0 + 0 = 0

Nise, chionns gu bheil:

0 + 1 = 1

...tha e soilleir gu bheil neoni na àireamh air beulaibh na h-aon anns an òrdugh àireamh – ’s e a h-aon a tha “aon a bharrachd” air neoni. Tha àireamhan eile ann a tha ro neoni anns an òrdugh seo. Is iadsan na h-àireamhan àicheil – na h-àireamhan nas lugha na neoni – agus ’s urrainnear an cur-ris anns an aon dòigh:

Cur-ris-4.png

Mar eisimpleir, ’s e a h-aon a tha ceithir a bharrachd air -3.

-3 + 4 = 1

Chionns gu bheil cur-ris co-iomlaideach, gabhar a sgrìobhadh cuideachd:

4 + -3 = 1

...ach dè tha sin a’ ciallachadh? Gus a h-aon ruigsinn bho cheithir, feumar trì ceuman air ais a ghabhail.

Cur-ris-5.png

’S e toirt air falbh a tha seo:

4 – 3 = 1

’S e toirt air falbh na h-aon rud ri cur-ris àireimh àicheil, ach thoir an aire nach eil toirt air falbh co-iomlaideach mar a tha cur-ris.

3 – 4 ≠ 4 – 3.

Cur-ris uimhirean eile[deasaich | deasaich an tùs]

Bloighean[deasaich | deasaich an tùs]

Chan urrainnear dà rud a chur-ris ma tha iad eadar-dhealaichte. Nan cuireadh ceithir ùbhlan agus dà orainsear ri trì ùbhlan agus orainsear, bhiodh seachd ùbhlan agus trì orainsearan ann. ’S urrainnear na h-ùbhlan agus na h-orainsearan a chur-ris fa leth ach chan urrainnear an cur-ris mar-aon. Ach ’s urrainnear mur eil sin a’ cunntadh ùbhlan is orainsearan ach pìosan measa. ’S ann mar seo cuideachd le bloighean:

\left( \frac{4}{5} + \frac{2}{7} \right) + \left( \frac{3}{5} + \frac{1}{7} \right) = \left( \frac{7}{5} + \frac{3}{7} \right)

Gus còigeamhan agus seachdamhan a chur-ris feumar an iomlaid gu bhith nam bloighean den aon sheòrsa. Chionns gu bheil:

\frac{7}{5} = \frac{49}{35} \left( = \frac{7 \times 7}{5 \times 7} \right) agus \frac{3}{7} = \frac{15}{35} \left( = \frac{3 \times 5}{7 \times 5} \right)

’S urrainnear an cur-ris mar a leanas:

\frac{7}{5} + \frac{3}{7} = \frac{49}{35} + \frac{15}{35} = \frac{64}{35}


Bheactaran[deasaich | deasaich an tùs]

Bheir an aon bhun-bheachd comas dhuinn bheactaran a chur-ris. Tha cùrsa agus meud aig bheactar, agus ’s docha nach eil e soilleir ciamar a chuireas dà dhiubh ri chèile ma tha cùrsa eadar-dhealaichte aca. Ach ma tha na bheactaran air an cur an cèill a-rèir nan aon bhonn-bheactaran, ’s urrainnear codaichean de bheactaran an cois nam bonn-bheactaran a chur-ris.

Bheactar-1.png

Seo eisimpleir. Biodh  \mathbf{a} agus  \mathbf{b} nam bheactaran ri chur-ris, agus biodh na bonn-bheactaran aca na bheactaran aonadach \hat{\mathbf{x}} agus \hat{\mathbf{y}}, an cois nan axes x agus y. Biodh xa na chuid-x de bheactar  \mathbf{a} agus ya na chuid-y dheth. Faodaidh sinn  \mathbf{a} a sgrìobhadh an teirmean nam bonn-bheactaran mar a leanas:

 \mathbf{a} = x_a \hat{\mathbf{x}} + y_a \hat{\mathbf{y}}

Gus an ceartuair, leig an seagh agus leis a’ chomharra “+” an seo, ged a chithear gur h-e cur-ris a th’ ann.

Mar an ceudna:

 \mathbf{b} = x_b \hat{\mathbf{x}} + y_b \hat{\mathbf{y}}

Faodar a-nis na codaichean-x agus na codaichean-y a chuir-ris, agus nithear ciall de chur-ris bheactaran c = a + b mar a leanas:

 \mathbf{c} = x_c \hat{\mathbf{x}} + y_c \hat{\mathbf{y}}

Far a bheil:

 x_c = x_a + x_b \,\!
 y_c = y_a + y_b \,\!
 \mathbf{a} + \mathbf{b} = (x_a + x_b) \hat{\mathbf{x}} + (y_a + y_b) \hat{\mathbf{y}}

Gabhar faicinn gum faighear an aon bhuil ma tha an dà bheactar  \mathbf{a} agus  \mathbf{b} air an cur ceann gu ceann. ’S e an t-suim aca am bheactar a tha a’ coileanadh an triantain – am bheactar bho thoiseach  \mathbf{a} gu deireadh  \mathbf{b} .

Bheactar-2.png

Anns an aon dòigh, ma tha na codaichean de  \mathbf{a} , an cois na h-axes x agus y, na bheactaran:

 \mathbf{x}_a = x_a \hat{\mathbf{x}}
 \mathbf{y}_a = y_a \hat{\mathbf{y}}

...’s e am bheactar  \mathbf{a} na suim:

 \mathbf{a} = \mathbf{x}_a + \mathbf{y}_a = x_a \hat{\mathbf{x}} + y_a \hat{\mathbf{y}}

Bheactar-3.png


Machlagan[deasaich | deasaich an tùs]

Faodar dà mhachlaig a chur-ris le bhith a’ cur-ris na h-eileamaidean co-fhreagarrach fa leth.


 \begin{pmatrix}
 a_{11} & a_{12} \\
 a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
 b_{11} & b_{12} \\
 b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
 a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\
 a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22}
\end{pmatrix}

Mar eisimpleir:

 \begin{pmatrix}
 1 & 2 \\
 3 & 4 \\
 5 & 6
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
 4 & 5 \\
 6 & 3 \\
 1 & 2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
 5 & 7 \\
 9 & 7 \\
 6 & 8
\end{pmatrix}

Ach cha ghabh machlagan a chur-ris mur eil an dà dhiubh den aon òrdugh (.i. àireamh cholbhan agus shreathan). Tha cur-ris nam machlagan co-iomlaideach agus co-thiomsach.

Suimeadh[deasaich | deasaich an tùs]

’S e cur-ris sreath (no colbh) àireamhan a th’ ann an suimeadh. Mar eisimpleirean:

 S_1 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 \,\!
 S_2 = 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{9} + \tfrac{1}{64} + \tfrac{1}{625} + \cdots \,\!

Ann am matamataig, tha e gu tric feumail sreath-suimidh a giorrachadh, gu h-àraidh ma tha pàtran aig na teirmean, leis a’ chomharradh Σ (litir mhòr Ghreugais “S” a tha air fuaimneachadh sìghma - σίγμα).

 S_1 = \sum_{n=1}^6 (2n-1)
 S_2 = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n^{n-1}}\right)

Anns na h-eisimpleirean os cionn, ’s e caochladair brèige a th’ ann an n. Gabhaidh n gach luach mu seach bhon luach ìochdrach gus am fear uachdrach, agus san dòigh seo tha teirmean an t-suimidh air an togail. Tha na luachan seo, aig ìochdar agus aig uachdar na soidhne-suimidh, nan crìochan an t-suimidh. Mar eisimpleir, bhon chiad eisimpleir, tha an suimeadh bho n = 1 gu n = 6:

\begin{array}{ccc}
n & 2n-1 \\
1 & 2 \times 1 - 1 & 1  \\
2 & 2 \times 2 - 1 & +3 \\
3 & 2 \times 3 - 1 & +5 \\
4 & 2 \times 4 - 1 & +7 \\
5 & 2 \times 5 - 1 & +9 \\
6 & 2 \times 6 - 1 & +11 \\
  & \sum_{n=1}^6 (2n-1)= & 36
\end{array}

Anns an dara eisimpleir, gabhaidh n gach luach bho h-aon gu eicrioch. Tha e soilleir nach gabhar a sgrìobhadh gach teirm ’s an cur-ris, ach tha ro-innleachdan matamataigeach ann suimidhean neo-chrìochnach mar seo a dh’ fhuasgladh, co-dhiù seòrsaichean àraidh dhiubh.