Àireamhachd

O Uicipeid
Gearr leum gu: seòladh, lorg

’S e eòlas air làimhseachadh àireamhan a th’ ann an àireamhachd. Faodar àireamhan an cur ri chèile, an dealachadh, an iomadachadh agus an roinneadh agus tha comas-tuigse agus comas-cleachdaidh nan obrachaidhean seo èiseil dhuinn anns an t-saoghal mhòr.

’S e na h-àireamhan sìmplidh a tha air an cleachdadh airson cunntaidh. ’S e seo na h-àireamhan 1, 2, 3, 4, agus mar sin air adhart, ris an canar na h-àireamhan nàdarra ann am matamataig. Ach le bhith gan cur ri chèile agus gan dealachadh tha feumalachd àireamhan ùra – neoni agus na h-àireamhan àicheil – a’ tighinn mar coinneamh agus a’ leudachadh air ar tuigse àireamhan. Còmhla ris na h-àireamhan nàdarra, tha neoni agus na h-àireamhan àicheil a’ dèanamh suas àlach nan slàn-àireamhan. Tha roinneadh a’ toirt a-steach bun-bheachd nam bloighean agus an tuigse gum faod luach a bhith air àireimh eadar dà shlàn-àireimh. Mar eisimpleir, eadar a trì agus a ceithir tha 3.25, 3.617, 3.001 agus uiread de luachan gun chrìoch, agus gabhaidh àireamhan am meas mar gum biodh sreath leantainneach dhiubh. Uaireannan, tha seo air a riochdachadh le loidhne àireamh. Tha na slàn-àireamhan air an riochdachadh air an loidhne le puingean aig beàrnan cunbhalach, agus àireamh sam bith eile le puing aig àite sam bith air an loidhne. ’S e fìor-àireamh a chanar ri àireimh air am biodh luach sam bith.


Cur-ris (+)[deasaich | deasaich an tùs]

’S e cur-ris bun-obrachadh na h-àireamhachd far an cuirear àireamh ri àireimh eile airson suim a dhèanamh. ’S e obrachadh eadar dà àireimh, ach ’s urrainnear grunnan àireamh a chur ri chèile ma chuirear an treas àireamh ri suim a’ chiad dà, an ceathramh ri suim a trì, agus mar sin air adhart. Tha dà fheart chudromach aig cur-ris. Cha tèid an t-suim a-rèir:

  • òrdugh suimidh:
17 + 5 + 63 = 22 + 63 = 85
17 + 5 + 63 = 17 + 68 = 85
agus seo an Lagh Co-thiomsach,
  • òrdugh àireamhan:
24 + 69 = 93
69 + 24 = 93
agus seo an Lagh Co-iomlaideach.

Toirt air falbh (−)[deasaich | deasaich an tùs]

’S e toirt air falbh an t-obrachadh mùiteach ri cur-ris. Far a bheil dà àireimh air an cur ri chèile agus suim a dhèanamh, tha toirt air falbh a’ dealachadh àireimh bhon t-suim. ’S e a’ bhuil aice an diofar eadar dà àireimh. Mar eisimpleir:

27 − 8 = 19

Ma bheirear àireamh air falbh bho àireamh nas lugha, ’s e àireamh àicheil a tha anns a’ bhuil:

14 − 36 = −22

Ann an cunntasachd, thathar a’ dèanamh mìneachadh air àireimh àicheil mar suim air a ghabhail air iasad gu bhith ag ath-dhìoladh.

Tha e soilleir nach eil toirt air falbh a’ cumail ris an Lagh Co-iomlaideach no an Lagh Co-thiomsach. Tha a’ bhuil aice an urra ris òrdugh nan àireamhan:

15 − 7 ≠ 7 − 15

agus òrdugh an dealachaidh:

22 − 14 − 7 = 8 − 7 = 1
22 − 14 − 7 = 22 − 7 = 15

Mar sin tha e nas goireasaich a bheachdachadh oirre mar gum biodh i na suimeadh le àireamhan àicheil. Anns an dòigh seo:

22 + (−14) + (−7) = (22 + (−14)) + (−7) = (22 − 14) + (−7) = 8 + (−7) = 8 − 7 = 1
22 + (−14) + (−7) = 22 + ((−14) + (−7)) = 22 + (− 14 − 7) = 22 + (−21) = 22 − 21 = 1

Tha cur-ris a’ cumail ris na Laghan Co-thiomsach agus Co-iomlaideach co-dhiù a tha na h-àireamhan dearbh no àicheil.


Iomadachadh (× no ·)[deasaich | deasaich an tùs]

’S e cur-ris a tha aig bun iomadachaidh cuideachd. Le bhith ag ràdh gu bheil 4 uiread 9 a’ dèanamh 36, tha sinn ag ràdh gu bheil:

9 + 9 + 9 + 9 = 36

Agus ’s e geàrr-sgrìobhadh a th’ ann:

4 × 9 = 36

Canar toradh ri buil iomadachaidh, agus ma tha 9 air a h-iomadachadh le 4, ’s e iomadair a th’ ann a 4. Chionns gu bheil iomadachadh a’ cumail ris an Lagh Co-iomlaideach agus tha:

4 × 9 = 9 × 4

chan eil e gu diofar co dhiubh a tha na h-iomadair. Uaireannan thathar ag ràdh factaran ris an dà àireimh a tha air an iomadachadh. Tha iomadachadh a’ cumail ris an Lagh Co-thiomsach cuideachd:

3 × 4 × 5 = 12 × 5 = 60
3 × 4 × 5 = 3 × 20 = 60

’S e ionnanachd an iomadachaidh a th’ anns a h-aon. ’S e sin ri ràdh gun dèante an aon àireamh nam biodh àireamh air a h-iomadachadh leis a h-aon. Agus ’s e co-thionndadh àireimh am bloigh far a bheil an àireamh fhèin na seòrsaiche agus a h-aon na h-àireamhaiche. Mar eisimpleir ’s e co-thionndadh 5 a tha ann an 1/5. Dhèante a h-aon nan iomadaichte àireamh leis a’ cho-thionndadh:

1/5 × 5 = 1

Tha feart cudromach eile aig iomadachadh. Far a bheil iomadair agus suim, faodaidh an t-iomadair a bhith air a sgaoileadh a-measg àireamhan na suime:

7 × ( 14 + 9 – 4) = (7 × 14) + (7 × 9) − (7 × 4)

Canar Lagh an Sgaoilidh ri seo.


Roinneadh (÷ no /)[deasaich | deasaich an tùs]

’S e roinneadh an t-obrachadh mùiteach ri iomadachadh. Canar an roinn-àireamh ri buil roinneadh duaise-roinne le roinniche.

roinn-àireamh = duais-roinn ÷ roinniche.

... agus dhèante an duais-roinn nam biodh an roinn-àireamh air a h-iomadachadh leis an roinniche. Faodaidh àireamh sam bith a bhith na roinniche ach neoni a-mhàin. Tha roinneadh le neoni gun bhrìgh. Cha chum roinneadh ris na Laghan Co-thiomsach no Co-iomlaideach agus tha e nas goireasaich a bheachdachadh oirre mar iomadachadh le co-thionndaidhean. Mar eisimpleir:

73 ÷ 21 = 73 × 1/21

Anns an riochd seo tha feartan iomadachaidh air an glèidheadh.


Cumhachdan[deasaich | deasaich an tùs]

Ma tha àireamh air a h-iomadachadh leatha fhèin, faodar a geàrr-sgrìobhadh mar a leanas:

92 = 9 × 9
93 = 9 × 9 × 9
94 = 9 × 9 × 9 × 9.

Tha am for-sgriobta a’ sealltainn na h-uiread de naoidhean a tha air an iomadachadh le chèile mar os cionn. Canar a’ chumhachd ris an fhor-sgriobta seo. Mas a h-aon a’ chumhachd, ’s e an àireamh fhèin a th’ innte:

41 = 4.

Tha briathran sònraichte againn ma tha a’ chumhachd co-ionnan ris a dhà no a trì. Canaidh sinn gu bheil an àireamh ceàrnaichte no ciùbaichte fa leth. A-mach air seo canar gu bheil an àireamh (togte) chun na ceathramh/ còigeamh/ ... cumhachd. Canar bonn ris an àireimh a tha togte chun cumhachd.

Tha riaghailt chudromach iomadachaidh a dh’àireamhan leis an aon bhonn:

72 × 73 = (7 × 7) × (7 × 7 × 7) = 75.
an × am = am + n

’S e sin ri ràdh, ma tha dà àireimh ann leis an aon bhonn...

iomadachadh = suimeadh nan cumhachdan.

Tha e soilleir cuideachd:

6^3 \div 6^2 = \frac{6 \times 6 \times 6}{6 \times 6} = 6

’S e sin ri ràdh gu bheil am ÷ an = am – n. Bhon riaghailt os cionn am – n = am × a–n agus bhon tuigse gu bheil roinneadh an aon rud ri iomadachadh leis a’ cho-thionndadh:

a^m \div a^n = a^m \times \frac {1} {a^n}

tha mìneachadh air a dhèanamh air cumhachd àicheil mar a leanas:

a^{-n} = \frac {1} {a^n}

Chionns gu bheil:  4 \times \tfrac {1} {4} = 1 agus:  4 \times \tfrac{1}{4} = 4^1 \times 4^{-1} = 4^0 agus gum faighear an aon bhuil le bonn sam bith, thathar a’ toirt brìgh don chumhachd neoni. ’S e a h-aon a th’ ann an àireimh sam bith chun na cumhachd neoni.

a0 = 1.

Cumhachdan chumhachdan[deasaich | deasaich an tùs]

Tha 23 = 8, agus tha 82 = 8 × 8. Mar sin tha:

(23)2 = 23 × 23 = 26

agus tha dara riaghailt aig àireamhan leis an aon bhonn. ’S e sin...

Ma tha àireamh, a tha togte chun cumhachd, ath-thogte chun cumhachd eile, tha na cumhachdan air an iomadachadh.

’S e sin:

(am)n = am × n.


Freumhan[deasaich | deasaich an tùs]

Ma tha 22 = 4 canaidh sinn gu bheil 2 na freumh ceàrnagach de 4 agus tha seo air a sgrìobhadh 2 = √4. Anns an aon dòigh, ma tha:

 3^3 = 27; \qquad 3 = \sqrt[3]{27}
 4^4 = 256; \qquad 4 = \sqrt[4]{256}.

’S e \sqrt[3]{} am freumh ciùbach ach chan eil briathran sònraichte aig a’ chòrr. Canar an ceathramh/ còigeamh/ .../ nmh freumh ris a’ chòrr. Chionns gu bheil:

(\sqrt{5})^2 = 5^1 = (5^{\tfrac{1}{2}})^2

...bho riaghailt iomadachadh nan cumhachdan, tha againne:

 \sqrt{5} = 5^{\tfrac{1}{2}}
 \sqrt[3]{5} = 5^{\tfrac{1}{3}}
 \sqrt[4]{5} = 5^{\tfrac{1}{4}}

Tha e soilleir cuideachd gu bheil:

(\sqrt[4]{7})^3 = 7^{\tfrac{3}{4}}

agus gum faod cumhachd a bhith na bloigh cuideachd.


Log-àireamhan[deasaich | deasaich an tùs]

’S urrainnear àireamh dhearbh sam bith a’ sgrìobhadh anns an riochd an agus n na fìor-àireamh. Ma sgrìobh sinn x = an tha e soilleir nam biodh (agus a ≥ 1):

n > 1; x > a
n = 1; x = a
0 < n < 1; 1 < x < a
n = 0; x = 1
n < 0; 0 < x < 1

... agus gu bheil n ann do gach luach x > 0. Chan eil n ann far am bi an = 0, agus chan eil n ann do àireamhan àicheil. Canar log-àireamh le bonn a ri n, agus sgrìobhar...

n = loga(x)

Chan eil ann ach dà luach a tha cumanta mar bhonn log-àireamhan. Is iad seo 10 agus an àireamh sònraichte e. ’S e bonn nan log-àireamhan nàdarra a tha e, agus ’s e àireamh eucoimeasta a th’ innte

e = 2.71828182845904523536028747135...

ach tha feartan àraidh aig log-àireimh nàdarra.

log10(5) = 0.69897... loge(5) = 1.6094379...
log10(10) = 1 loge(10) = 2.302585...
log10(50) = 1.69897... loge(50) = 3.9120230...
log10(100) = 2 loge(100) = 4.60157...

’S e feartan nan cumhachdan feartan nan log-àireamhan. Gus dà àireimh a dh’iomadachadh, tha na log-àireamhan aca air an cur-ris. Gus àireamh a thogail chun cumhachd, tha an log-àireamh aice air iomadachadh leis a’ chumhachd.

Ann an coimpiutaireachd agus air àireamhairean, tha e cumanta a sgrìobhadh log an àite log10 agus ln an àite loge ach ann am matamataig agus ann am fiosaig, mar as cumanta ’s e brìgh loge a th’ ann far a bheil log air a sgrìobhadh gun fho-sgriobta.

Far a bheil:

n = log (x)

agus n na log-àireamh x, thathar ag ràdh gu bheil x na h-anti-log-àireamh n.