Àireamhan àicheil is neo-àicheil

O Uicipeid
Gearr leum gu: seòladh, lorg

'S e àireamh nas lugha na neoni a th' ann an àireimh àicheil. Tha na h-àireamhan nas mò na neoni dearbh (no dearbhte). Chan eil neoni fhèin dearbh no àicheil. Ma tha àireamh neo-àicheil, 's e àireamh dhearbh no neoni a th' innte. Ma tha i neo-dhearbh, 's e àireamh àicheil no neoni a th' innte.

Ma thathar a' labhairt iomradh air àireamhan co-fhillte, 's e fìor-àireamh a th' ann mar as cumanta ma thathar ag ràdh dearbh rithe.


Àireamhan àicheil[deasaich | edit source]

Faodar a bheachdachadh air na h-àireamhan àicheil mar gum biodh iad a' leigeil a-mach air na h-àireamhan nàdarra gus fuasgladh ciallach a thoirt don cho-aontar xy = z airson gach luach de x agus y. Agus 's ann a' leigeil a-mach air seo mu seach a tha na h-àlaichean eile de dh' àireamhan agus gach aon dhiubh a' toirt tuilleadh coitcheannais do dh' àireamhan.

Tha àireamhan àicheil feumail airson àireimh a chur ri puingean sgèile a thèid fo neoni, mar eisimpleir sgèile theòthachd, agus airson fiachan nochdadh sa chunntasachd far a bheil iad air an sgrìobhadh le figearan dearga, no le figearan eadar chamagan.


Àireamhan neo-àicheil[deasaich | edit source]

Tha àireamh neo-àicheil ma tha i nas mò na, no co-ionnan ri, neoni (.i. àireamh dhearbh no neoni fhèin). Ri linn seo chan eil ciall air a' bhriathar neo-àicheil am measg àireamhan co-fhillte, ach a bheil iad nam fìor-àireamhan.

Tha machlag fhìor-àireamhan neo-àicheil ma tha gach eileamaid dhith neo-àicheil. Tha machlag làn-neo-àicheil ma tha detèirmeanant gach fo-mhachlaig ceàrnagaich dhith neo-àicheil cuideachd.


Fuincsean an t-Soidhne[deasaich | edit source]

Tha fuincsean ann thar nam fìor-àireamhan ris an canar am fuincsean signum (Laidinn – soidhne), sgn(x), far a bheil:

sgn(x)=\begin{cases}
 -1, & \mbox{ma tha } x < 0 \\
 0,  & \mbox{ma tha } x = 0 \\
 1,  & \mbox{ma tha } x > 0
\end{cases}

Mur eil x = 0:

sgn(x) = \frac{x}{|x|} = \frac{|x|}{x} = \frac{d|x|}{x}

far a bheil |x| na dhearbh luach x.


Àireamhachd le àireamhan soidhneach[deasaich | edit source]

Cur-ris agus toirt air falbh[deasaich | edit source]

Gabhar a bheachdachadh air àireamhan àicheil mar gum b' e fiachan a th' annta nuair a tha àireamhan air an cur-ris agus air an toirt air falbh.

'S e an aon rud cur-ris àireimh àicheil agus toirt air falbh àireimh deirbhe:

5 + (−3) = 5 – 3 = 2.

Ma tha €5 agad agus fiach €3 ort, 's e €2 an luach lom agad.

−2 + (−5) = −2 – 5 = −7

Ma tha fiach $2 ort agus gheibh thu fiach $5, 's e $7 am fiach gu lèir ort.

Le bhith a' toirt air falbh àireimh deirbhe bho àireimh dheirbh nas lugha, 's e àireamh àicheil a th’ anns a’ bhuil:

4 − 6 = −2

Ma bha £4 agad ach chosg thu £6, 's e am fiach £2 a bhiodh ort.

'S e toirt air falbh àireimh àicheil an aon rud ri cur-ris na h-àireimh deirbh co-fhreagarraich:

5 – (−2) = 5 + 2 = 7.

Ma tha luach lom €5 agad agus gheibh thu cuidhteas fiach €2, 's e €7 an luach lom ùr agad.

–8 – (−3) = –8 + 3 = –5.

Ma tha fiach €8 ort ach gheibh thu cuidhteas fiach €3, 's e €5 am fiach air fhàgail ort.


Iomadachadh[deasaich | edit source]

'S e àireamh àicheil a th’ ann an toradh iomadachadh àireimh àicheil le àireimh dheirbh: −2 × 3 = −6. Agus 's e àireamh dhearbh a th' ann an toradh iomadachadh àireimh àicheil le àireimh àicheil: −4 × −3 = 12.

Tha dòigh ann seo a thuigsinn ma bheachdaicheas tu air iomadachadh le àireimh dheirbh mar ath chur-ris. San dòigh seo, 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 agus −2 × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6. 'S ann an aon dòigh b' e iomadachadh le àireimh àicheil an aon rud ri ath thoirt air falbh. Mar eisimpleir: 3 × −2 = −3 − 3 = −6.

Le bhith nas foirmeile, 's e àireamh dhearbh air a h-iomadachadh le −1 a th’ ann an àireimh àicheil:

a = (−1) + (−1) + (−1) + (−1) + ... agus a dhiubh.
= (−1) × a

Nise,

a × −b = a × (−1) × b

...agus chionns gu bheil iomadachadh co-iomlaideach agus co-thiomsach:

a × −b = (−1) × ab
= ab

San aon dòigh:

a × −b = (−1) × a × (−1) × b
= (−1) × (−1) × ab
= −(−1) × ab

Airson −(−1) a dh' fhuasgladh, thoir an aire gu bheil:

cc = 0
c + (–c) = 0

...agus ma tha c = −1:

−1 + (–(−1)) = 0
–(−1) − 1 = 0
∴ –(−1) = 1
∴ −a × −b = −(−1) × ab = ab


Roinneadh[deasaich | edit source]

Tha na riaghailtean seo freagarrach cuideachd do roinneadh. Ma tha àireamh dhearbh air a roinn le àireimh àicheil, no àireamh àicheil air a roinn le àireimh deirbh, ’s ann àicheil a’ bhuil:

4 ÷ −2 = −2
−6 ÷ 3 = −2

Ma tha an duais-roinn agus an roinniche dearbh am fear, no àicheil am fear, 's ann dearbh an roinn-àireamh.

8 ÷ 4 = 2
−12 ÷ −2 = 6

Togail foirmeil nan àireamhan àicheil is neo-àicheil[deasaich | edit source]

'S e na leanas togail foirmeil nan àireamhan àicheil agus neo-àicheil bho na h-àireamhan nàdarra.

Cruthaicheamaid àlach ùr, canaidh sinn Z ris, de càraidean òrdaichte àireamhan nàdarra (a, b).

Z = { (a, b) : a, bN }

Canaidh sinn gum bi dà eileamaid den àlach seo (a, b) agus (c, d) co-ionnan, ma tha:

a + d = b + c

agus mas fìor seo, sgrìobhamaid sin:

(a, b) ~ (c, d)

Cuiridh sinn òrdugh air na h-eileamaidean cuideachd agus sgrìobhaidh sinn:

(a, b) ≤ (c, d)

ma tha

a + db + c.

Nise, cuiridh sinn dà obrachadh càraideach + agus × ris an àlach Z far a bheil:

(a, b) + (c, d) ~ (a + c, b + d)
(a, b) × (c, d) ~ (ac + bd, bc + ad)

Chionns gu bheil a + c, b + d, ac + bd agus bc + ad uile nam buill de dh’ àlach nan àireamhan nàdarra, tha an dà obrachadh seo dùinte, oir 's e buill de Z a tha buil nan obrachaidhean os cionn.

Ma tha eileamaid ann (m, n) den àlach nach atharraich eileamaid eile fo obrachadh +, gabhar a sgrìobhadh:

(a, b) + (m, n) ~ (a, b)
(a + m, b + n) ~ (a, b)

'S e sin ri ràdh:

a + m + b = b + n + a
m = n

agus gum biodh eileamaid sam bith den riochd (n, n) na h-eileamaid ionnanachd aig an obrachadh +. Canamaid neoni ri eileamaid den t-seòrsa seo.

Ma tha eileamaid ann (m, n) den àlach nach atharraich eileamaid eile fo obrachadh ×, gabhar a sgrìobhadh:

(a, b) × (m, n) ~ (a, b)
(am + bn, bm + an) ~ (a, b)

An luib seo:

am + bn + b = bm + an + a
∴ (ab)m = (ab)(n + 1)
m = n + 1

Bhiodh eileamaid sam bith den riochd (n + 1, n) na h-eileamaid ionnanachd aig an obrachadh ×. Canamaid a h-aon ri eileamaid sam bith den t-seòrsa seo.

Nise, gabhar a dhearbhadh gu furasta gum bi:

(n + 1, n) + (n + 1, n) ~ (n + 2, n)
(n + 2, n) + (n + 2, n) ~ (n + 4, n)
(n + 2, n) × (n + 3, n) ~ (n + 6, n)

Ma th' ann eileamaid den àlach (m, n) far a bheil:

(a, b) + (m, n) ~ (n, n)
(a + m, b + n) ~ (n, n)
a + m + n = b + n + n
a + m = b + n
m = b; n = a
∴ (a, b) + (b, a) ~ (n, n)

'S e eileamaidean iom-thionndaidh a tha ann (b, a) agus (a, b) airson an obrachaidh +. Mar eisimpleirean:

(n + 1, n) + (n, n + 1) ~ (n, n)
(n + 2, n) + (n, n + 2) ~ (n, n)

Gabhar a dhearbhadh cuideachd gu bheil:

(n, n + 1) < (n, n) < (n, n + 1)

Tha e air a bhith a' fàs soilleir gu bheil cuid de dh' eileamaidean an àlaich seo ceart cho-ionnan ris na h-àireamhan nàdarra fhèin:

(n + 1, n) 1
(n + 2, n) 2
(n + 3, n) 3
(a, b) ab

Tha seo fìor ma tha a' chiad bhall den chàraid òrdaichte nas mò nan dara fear. Mas e an dara fear as mò, chan eil àireamh nàdarra ann a tha co-ionnan ris, ged nach eil e gu diofar anns an àlach Z a bheil a > b no b > a. Ri linn sin, canaidh sinn gu bheil eileamaid (a, b) den àlach Z dearbh ma tha a > b, neoni ma tha a = b, agus àicheil ma tha a < b. An àite càraidean àireamh (a, b), dèanar feum de dh’ fhigearan àireamhan nàdarra mar a leanas...


 (a, b)=\begin{cases}
 a - b, & : a > b \quad \mbox{(m.e. 1, 2, 3, ...) } \\
 0,  & : a = b \\
 -(b-a),  & : a < b  \quad \mbox{(m.e. -1, -2, -3, ...) }
\end{cases}


'S e àlach nan slàn-àireamhan a th' anns an Z, anns a bheil x agus –x nan eileamaidean (àireamhan) iom-thionndaidh fon obrachadh + (cur-ris).