Obrachadh càraideach

O Uicipeid
Gearr leum gu: seòladh, lorg

'S ann ri àlaichean agus na h-obrachaidhean air eileamaidean dheth a tha ailseabra a' dèiligeadh. Tha i a' rannsachadh nam feartan coitcheann a thèid an tarraing bho na h-obrachaidhean seo gun sùil a thoirt air nàdar mionaideach an àlaich no nan obrachaidhean fhèin. Am measg nan obrachaidhean seo, tha obrachaidhean càraideach air leth cudromach.

'S e obrachadh eadar paidhir (no càraid) eileamaidean den àlach a mhapas ri eileamaid den aon àlach a th’ ann an obrachadh càraideach, ach feumaidh seo a bhith fìor do gach eileamaid den àlach. Ann an comharran matamataig, tha an t-obrachadh * càraideach air an àlach A, ma tha:

xA, ∀ yA, x * yA

Mar eisimpleir, 's e obrachadh càraideach a th’ ann an cur-ris air àlach nan àireamhan nàdarra N, oir 's e àireamh nàdarra a th' ann an suim dà àireimh nàdarra, ge b' e air bith na h-àireamhan a th' air an roghnachadh. Ach chan e obrachadh càraideach a th' ann an toirt air falbh, oir tha e furasta gu leòr paidhir àireamhan a roghnachadh nach map ri àireimh nàdarra fon obrachadh.

m.e. 5 – 7 = –2 ∉ N.

Mur eil buil an obrachaidh na ball den aon àlach, canaidh sinn gu bheil an t-obrachadh fosgailte. Ma tha a' bhuil na ball den àlach, 's e obrachadh dùinte a th' ann. 'S ann dùinte a tha obrachadh càraideach. Tha toirt air falbh na h-obrachadh càraideach air àlach Z nan slàn-àireamhan, agus tha cur-ris, toirt air falbh agus iomadachadh nan obrachaidhean càraideach air na fìor-àireamhan R. Chan eil roinneadh na obrachadh càraideach air R oir chan fhaodar a roinn le neoni.


Tuairisgeul foirmeil[deasaich | edit source]

Tha obrachadh càraideach air àlach A na fuincsean a mhapas an toradh Cartesach A × A ri A.

f : A × AA
.i. ∀ (x, y) ∈ A2, ∃ zA : f(x, y) = z

Mar as cumanta, tha comharra àraidh aig obrachadh càraideach (m.e. +, ×, ∩, 7c.) , mar eisimpleir cur-ris nan slàn-àireamhan:

+ : Z × ZZ
+ (2, 3) = 5
+ (- 4, 11) = 7

ged tha e nas cumanta an comharra seo a' sgrìobhadh eadar àireamhan na càraide:

2 + 3 = 5
- 4 + 11 = 7

No, mas e * an comharra airson obrachaidh choitchinn:

a * b = c



Feartan obrachaidh càraidich[deasaich | edit source]

Faodaidh feartan àraidh a bhith aig obrachadh càraideach. 'S ann mar as leanas na feartan as cudromach:


Eileamaid ionnanachd[deasaich | edit source]

Ma tha an làthair eileamaid c den àlach:

xA, ∃ cA : c * x = x

's e eileamaid ionnanachd à clì a th' ann an c. Ma tha:

xA, ∃ dA : x * d = d

's e eileamaid ionnanachd à deas a th' ann an d. 'S e eileamaid ionnanachd a th' ann an e ma tha e ionnanachd à clì agus à deas:

xA, ∃ eA : e * x = x * e = x.



Co-iomlaideachd[deasaich | edit source]

Ma tha paidhir eileamaidean ann x agus y far a bheil:

x * y = y * x

's e paidhir co-iomlaideach a th' ann x agus y. Ma tha eileamaid a ann far a bheil, airson gach eileamaid x den àlach:

xA, ∃ aA : a * x = x * a

's e eileamaid co-iomlaideach a th' ann an a. Ma tha e fìor airson a h-uile paidhir eileamaidean den àlach:

∀ (x, y) ∈ A2, x * y = y * x

's e obrachadh co-iomlaideach a th' anns an *.



Roinnidheachd[deasaich | edit source]

Ma tha e fìor airson a h-uile paidhir eileamaid den àlach:

∀ (x, y) ∈ A2, ∃ cA : x * c = y

's e so-roinnte à clì a th’ anns an obrachadh *. Ma tha e fìor airson a h-uile paidhir eileamaid den àlach:

∀ (x, y) ∈ A2, ∃ dA : d * x = y

's e so-roinnte à deas a th' anns an obrachadh *. 'S e obrachadh roinnidheach a th' anns an * ma tha e so-roinnte à clì agus à deas.

∀ (x, y) ∈ A2, ∃ eA : x * e = e * x = y.



Iom-thionndadh[deasaich | edit source]

Ma tha eileamaid ionnanachd e ann, agus:

xA, ∃ yA : x * y = e

's e eileamaidean iom-thionndaidh a th' anns an x agus y.



Co-thiomsachd[deasaich | edit source]

Ma tha a, w, x, y agus z nam buill den àlach, agus ma tha w * x = a agus a * y = z. Faodar a sgrìobhadh:

(w * x) * y = z

far a bheil na camagan ( ) a' ciallachadh gum feumar an t-obrachadh a-stigh fhuasgladh ron fhear a-muigh. Nise, ma tha e fìor gu bheil:

∀ (x, y, z) ∈ A3, (x * y) * z = x * (y * z)

's e obrachadh co-thiomsach a th' anns an *.



Sgaoilidheachd[deasaich | edit source]

Ma tha dà obrachadh càraideach ann, ⊙ agus ⊕ can, agus ma tha e fìor gu bheil:

∀ (x, y, z) ∈ A3, x ⊙ ( yz) = (xy) ⊕ (xz)

Canaidh sinn gu bheil an t-obrachadh ⊙ sgaoileach air an obrachadh ⊕.



Structairean ailseabrach[deasaich | edit source]

Magma[deasaich | edit source]

'S e magma an t-ainm air àlach le obrachadh càraideach an lùib. Tha e cumanta seo a sgrìobhadh (A,*) far a bheil A na àlach agus * na obrachadh càraideach. 'S e an structair as bunaitich ann an ailseabra a th' ann am magma far nach eil riaghailt no feart air a chur às leth an obrachaidh chàraidich aige. Ri linn seo, chan eil mòran ùidh air magma mar thà.


Leth-ghrùpa agus cuasai-ghrùpa[deasaich | edit source]

Ma tha obrachadh càraideach a' mhagma co-thiomsach, 's e leth-ghrùpa a th' ann. Mur eil e co-thiomsach ach so-roinnte, 's e cuasai-ghrùpa a th' ann.


Monaid agus lùb[deasaich | edit source]

Ma tha eileamaid ionnanachd aig leth-ghrùpa (.i. magma co-thiomsach le eileamaid ionnanachd), canaidh sinn monaid ris; ma tha eileamaid ionnanachd aig cuasai-ghrùpa, canaidh sinn lùb ris.


Grùpa[deasaich | edit source]

Far a bheil eileamaid iom-thionndaidh aig gach eileamaid monaid, 's e grùpa a th' ann. Agus 's e grùpa a th' ann cuideachd ma tha lùb co-thiomsach.

Ma tha obrachadh càraideach a' ghrùpa co-iomlaideach, canaidh sinn gur e grùpa aibèalach a th' ann.



Fàinne[deasaich | edit source]

'S e fàinne a th' ann an structair le dà obrachadh càraideach: a' chiad fhear na ghrùpa aibèalach 's an dara fear na mhonaid agus e sgaoileach air a' chiad fhear. Thathar a' smaoineachadh air dà obrachadh chàraideach mar gur e cur-ris agus iomadachadh a bhiodh ann. Tha e cumanta "cur-ris" a ràdh ri obrachadh a' ghrùpa aibèalaich agus "iomadachadh" ri obrachadh na monaid, ged sa chuis choitchinn nach biodh riaghailtean cur-ris no iomadachaidh nan àireamhan iomchaidh. Mas e fàinne (F, ⊕, ⊙):

∀ (x, y, z) ∈ F3, (xy) ⊕ z = x ⊕ (yz) ∀ (x, y, z) ∈ F3, (xy) ⊙ z = x ⊙ (yz)
xF, ∃ eF : ex = xe = x xF, ∃ fF : fx = xf = x
xF, ∃ yF : xy = e ∀ (x, y, z) ∈ F3, x ⊙ ( yz) = (xy) ⊕ (xz)
∀ (x, y) ∈ F2, xy = yx

Ma tha an t-obrachadh ⊙ co-iomlaideach cuideachd (.i. ∀ (x, y) ∈ F2, xy = yx), 's e fàinne cho-iomlaideach a chanar rithe.


Raon[deasaich | edit source]

Mas i fàinne cho-iomlaideach a th’ innte ach 's e grùpa a th' ann an dara obrachadh càraideach cuideachd, 's e raon a th' againn rithe. Mas e raon (R, ⊕, ⊙):

∀ (x, y, z) ∈ R3, (xy) ⊕ z = x ⊕ (yz) ∀ (x, y, z) ∈ R3, (xy) ⊙ z = x ⊙ (yz)
xR, ∃ eR : ex = xe = x xR, ∃ fR : fx = xf = x
xR, ∃ yR : xy = e xR, ∃ yR : xy = f
∀ (x, y) ∈ R2, xy = yx ∀ (x, y) ∈ R2, xy = yx
∀ (x, y, z) ∈ R3, x ⊙ ( yz) = (xy) ⊕ (xz)