Iomadachadh

'S e iomadachadh an t-obrachadh àireamhachd a tha a' toirt dhuinn na h-uiread de rud sam bith den aon t-seòrsa. Mas e àireamh a th' ann an rud seo (m.e. 2) agus tha trì uiread dhith:

$2+2+2=6\,$

tha seo air a sgrìobhadh gu cumanta:

$3\times 2=6\,$.

Canar factaran ris na h-àireamhan a tha air an iomadachadh (3 agus 2) agus an toradh ri buil an iomadachaidh (6). 'S urrainnear ainmean àraidh a thoirt don dà fhactar fa leth – an iomarann agus an t-iomadair – ach chionns gu bheil 3 × 2 = 2 × 3 chan eil e gu diofar cò aca tha na iomarann no na iomadair.

'S e roinneadh an t-obrachadh mùiteach ri iomadachadh.

Comharradh iomadachaidh

Far a bheil àireamhan le figearan, tha iomadachadh air a sgrìobhadh le crasgan claon (×), ach ann an ailseabra tha e ro fhurasta an comharra seo agus an litir x a mheasgachadh suas. Thathar a' cleachdadh puing togte (∙) eadar na caochladairean a thèid an iomadachadh ri linn, no chan eilear a' cleachdadh comharra sam bith:

$x\cdot y=xy=x\times y\,$

Chan urrainnear puing thogte a chleachdadh le figearan, oir thèid a leughadh mar phuing dheicheach, agus chan e a chòig uiread a trì ach caogad 's a trì a th' ann an 53.

Anns na h-àrd-chànanan coimpiutaireachd, thèid an reul (*) a chleachdadh. B' e sin an comharra iomadachaidh aig FORTRAN, a' chiad àrd-chànan prògramaidh.

Iomadachadh le àireamhan nàdarra

Gabhar m uiread n a sgrìobhadh :

$m\times n=\sum _{k=1}^{m}n=n+n+\cdots +n\qquad$ (m dhiubh)

agus san dòigh seo 's e geàrr-sgrìobhadh cur-ris uiread na h-aon àireimh a th' ann an iomadachadh.

$2\times 5=5+5\,$

$5\times 2=2+2+2+2+2\,$

$3\times m=m+m+m\,$

Mar a tha cur-ris co-iomlaideach agus co-thiomsach, 's ann a tha iomadachadh.

$xy=yx\,$

$(xy)z=x(yz)\,$

Agus tha trìtheamh feart cudromach ann. Tha iomadachadh sgaoileach air an obrachadh cuir-ris. Tha seo a' ciallachadh gu bheil:

$x(y+z)=xy+xz\,$

Uaireannan, 's e Lagh an Sgaoilidh a chanar ri seo.

Tha feart àraidh aig àireamh a h-aon. 'S e an aon rud, rud sam bith a th' air iomadachadh leis a h-aon.

$1\times m=m\,$

$m\times 1=1+1+\cdots +1=m\,$

Tha briathar sònraichte air àireamh leis an fheart seo ann an ailseabra. Canar eileamaid ionnanachd ris.

Neoni agus na h-àireamhan àicheil

'S e neoni àireamh sam bith a th' air iomadachadh le neoni.

$5\times 0=0+0+0+0+0=0\,$

Agus san aon dòigh, ma tha neoni uiread rud sam bith, chan eil dad ann.

Tha e furasta thuigsinn gu bheil:

$5\times -1=-1+(-1)+(-1)+(-1)+(-1)=-5\,$

ach dè as ciall do -1 × 5? Faodaidh sinn am feart co-iomlaideach a chleachdadh, ma tha sinn cinnteach gu bheil iomadachadh co-iomlaideach le àireamhan àicheil, ach bhiodh e nas fheàrr a dh' fhuasgladh le taic Lagh an Sgaoilidh mar a leanas:

$-1\times 5=(3-4)\times 5=(3\times 5)-(4\times 5)=15-20=-5\,$

Tha e soilleir cuideachd gu bheil:

$(-1)x=-x=x(-1)\,$

Agus ma tha an dà fhactar àicheil:

$(-x)(-y)=(-1)x(-1)y=(-1)(-1)xy=-(-1)xy=xy\,$

chionns gur e 1 a th' ann an -(-1). Gus seo a dhearbhadh, smaoinich gu bheil:

$x-x=0\,$

agus ma tha x = -1, gabhar a sgrìobhadh

$-1-(-1)=0\,$

agus ma chuirear a h-aon ri gach taobh:

$-(-1)=1\,$

Bloighean

Tha e furasta thuigsinn ciamar a dh' iomadaicheas bloigh le àireimh shlàin:

${\begin{array}{rcl}0\times {\tfrac {1}{7}}&=&0\\1\times {\tfrac {1}{7}}&=&{\tfrac {1}{7}}\\5\times {\tfrac {1}{7}}&=&{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{7}}={\tfrac {5}{7}}\\-3\times {\tfrac {1}{7}}&=&-{\tfrac {3}{7}}\end{array}}$

Agus san aon dòigh:

${\tfrac {1}{7}}\times 5={\tfrac {1}{7}}(1+1+1+1+1)={\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{7}}={\tfrac {5}{7}}$

Ma tha dà bhloigh ann:

${\begin{array}{rcl}{\tfrac {a}{b}}\times {\tfrac {c}{d}}&=&{\tfrac {1}{b}}\times a\times c\times {\tfrac {1}{d}}\\&=&{\tfrac {1}{b}}\times ac\times {\tfrac {1}{d}}={\tfrac {1}{b}}\times {\tfrac {ac}{d}}\\&=&{\tfrac {1}{b}}\times {\tfrac {bac}{bd}}={\tfrac {1}{b}}\times b\times {\tfrac {ac}{bd}}\\&=&{\tfrac {ac}{bd}}\end{array}}$

Tha na h-àireamhaichean air an iomadachadh le chèile agus na seòrsaichean air an iomadachadh le chèile agus sin an riaghailt airson dà bhloighe iomadachadh.

Cumhachdan

Far a bheil àireamh air iomadachadh le fhèin thathar ag ràdh gu bheil an àireamh togte ri cumhachd. 'S e uiread an iomadachaidh a th' anns a' chumhachd agus tha seo air a sgrìobhadh mar fhor-sgriobta air an àireimh. Mar eisimpleir:

$x^{5}=x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\qquad \qquad x^{3}=x\cdot x\cdot x\,$

Tha e soilleir gu bheil:

$x^{5}\cdot x^{3}=(x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x)\cdot (x\cdot x\cdot x)=x^{8}\,$

agus sa choitcheannas:

$x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}\,$

Tha seo fìor an ann àicheil m no n no nach ann.

Àireamhan deicheach

Gus àireamhan deicheach iomadachadh, 's urrainnear an atharrachadh do shlàn-àireamhan air an iomadachadh le deich air a thogail chun cumhachd. Nuair sin, thèid na slàn-àireamhan an iomadachadh agus na cumhachdan de dheich an iomadachadh fa leth. Mar eisimpleir:

${\begin{array}{rcl}3.25\times 6.173&=&325\times 10^{-2}\times 6173\times 10^{-3}\\&=&2006225\times 10^{-5}\\&=&20.06225\end{array}}$

No 's urrainnear an làimhseachadh mar bhloighean cumanta:

$3.25\times 6.173={\tfrac {325}{100}}\times {\tfrac {6173}{1000}}={\tfrac {2006225}{100000}}=20.06225\,$

Àireamhan co-fhillte

Gus àireamhan co-fhillte iomadachadh, 's urrainnear feum a dhèanamh de Lagh an Sgaoilidh.

${\begin{array}{rcl}(a+ib)(c+id)&=&a(c+id)+ib(c+id)\\&=&(ac-bd)+i(ad+bc)\end{array}}$

Tha e furasta dhearbhadh gur ann co-thiomsach co-iomlaideach a tha iomadachadh àireamhan co-fhillte. Agus gu bheil e sgaoileach thar cur-ris.

Tha e nas fhasa àireamhan co-fhillte iomadachadh far a bheil iad nan riochd pòlarach.

$ae^{i\alpha }\cdot be^{i\beta }=ab\cdot e^{i(\alpha +\beta )}\,$

Comharradh Π

'S urrainnear toradh sreath teirmean a sgrìobhadh leis a' chomharra-thoraidh Π (an litir mòr "pi" bhon aibidil Ghreugais).

$\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}x_{m+1}x_{m+2}\cdots x_{n-1}x_{n}\,$

'S e caochladair brèige a th' ann an i agus e a' gabhail gach luach bho m gu n. Faodaidh sreath den t-seòrsa a' sìneadh gu eicrioch, ged nach biodh seagh aice mur eil toradh a' chiad n teirmean ag aomadh gu luach crìochach mar a dh' fhàsas n gun crìoch. 'S e sin:

$\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}:=\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}$

Tha an comharra $\lim _{n\rightarrow \infty }$ (bhon Bheurla limit) a' ciallachadh luach teòr an toraidh mar a thèid tuilleadh theirmean an cur ris an t-sreath-iomadachaidh.