Àireamhachd

’S e eòlas air làimhseachadh àireamhan a th’ ann an àireamhachd. Faodar àireamhan an cur ri chèile, an dealachadh, an iomadachadh agus an roinneadh agus tha comas-tuigse agus comas-cleachdaidh nan obrachaidhean seo èiseil dhuinn anns an t-saoghal mhòr.

’S e na h-àireamhan sìmplidh a tha air an cleachdadh airson cunntaidh. ’S e seo na h-àireamhan 1, 2, 3, 4, agus mar sin air adhart, ris an canar na h-àireamhan nàdarra ann am matamataig. Ach le bhith gan cur ri chèile agus gan dealachadh tha feumalachd àireamhan ùra – neoni agus na h-àireamhan àicheil – a’ tighinn mar coinneamh agus a’ leudachadh air ar tuigse àireamhan. Còmhla ris na h-àireamhan nàdarra, tha neoni agus na h-àireamhan àicheil a’ dèanamh suas seata nan slàn-àireamhan. Tha roinneadh a’ toirt a-steach bun-bheachd nam bloighean agus an tuigse gum faod luach a bhith air àireimh eadar dà shlàn-àireimh. Mar eisimpleir, eadar a trì agus a ceithir tha 3.25, 3.617, 3.001 agus uiread de luachan gun chrìoch, agus gabhaidh àireamhan am meas mar gum biodh sreath leantainneach dhiubh. Uaireannan, tha seo air a riochdachadh le loidhne àireamh. Tha na slàn-àireamhan air an riochdachadh air an loidhne le puingean aig beàrnan cunbhalach, agus àireamh sam bith eile le puing aig àite sam bith air an loidhne. ’S e fìor-àireamh a chanar ri àireimh air am biodh luach sam bith.

Cur-ris (+)

’S e cur-ris bun-obrachadh na h-àireamhachd far an cuirear àireamh ri àireimh eile airson suim a dhèanamh. ’S e obrachadh eadar dà àireimh, ach ’s urrainnear grunnan àireamh a chur ri chèile ma chuirear an treas àireamh ri suim a’ chiad dà, an ceathramh ri suim a trì, agus mar sin air adhart. Tha dà fheart chudromach aig cur-ris. Cha tèid an t-suim a-rèir:

• òrdugh suimidh:

17 + 5 + 63 = 22 + 63 = 85

17 + 5 + 63 = 17 + 68 = 85

agus seo an Lagh Co-thiomsach,

• òrdugh àireamhan:

24 + 69 = 93

69 + 24 = 93

agus seo an Lagh Co-iomlaideach.

Toirt air falbh (−)

’S e toirt air falbh an t-obrachadh mùiteach ri cur-ris. Far a bheil dà àireimh air an cur ri chèile agus suim a dhèanamh, tha toirt air falbh a’ dealachadh àireimh bhon t-suim. ’S e a’ bhuil aice an diofar eadar dà àireimh. Mar eisimpleir:

27 − 8 = 19

Ma bheirear àireamh air falbh bho àireamh nas lugha, ’s e àireamh àicheil a tha anns a’ bhuil:

14 − 36 = −22

Ann an cunntasachd, thathar a’ dèanamh mìneachadh air àireimh àicheil mar suim air a ghabhail air iasad gu bhith ag ath-dhìoladh.

Tha e soilleir nach eil toirt air falbh a’ cumail ris an Lagh Co-iomlaideach no an Lagh Co-thiomsach. Tha a’ bhuil aice an urra ris òrdugh nan àireamhan:

15 − 7 ≠ 7 − 15

agus òrdugh an dealachaidh:

22 − 14 − 7 = 8 − 7 = 1

22 − 14 − 7 = 22 − 7 = 15

Mar sin tha e nas goireasaich a bheachdachadh oirre mar gum biodh i na suimeadh le àireamhan àicheil. Anns an dòigh seo:

22 + (−14) + (−7) = (22 + (−14)) + (−7) = (22 − 14) + (−7) = 8 + (−7) = 8 − 7 = 1

22 + (−14) + (−7) = 22 + ((−14) + (−7)) = 22 + (− 14 − 7) = 22 + (−21) = 22 − 21 = 1

Tha cur-ris a’ cumail ris na Laghan Co-thiomsach agus Co-iomlaideach co-dhiù a tha na h-àireamhan dearbh no àicheil.

Iomadachadh (× no ·)

’S e cur-ris a tha aig bun iomadachaidh cuideachd. Le bhith ag ràdh gu bheil 4 uiread 9 a’ dèanamh 36, tha sinn ag ràdh gu bheil:

9 + 9 + 9 + 9 = 36

Agus ’s e geàrr-sgrìobhadh a th’ ann:

4 × 9 = 36

Canar toradh ri buil iomadachaidh, agus ma tha 9 air a h-iomadachadh le 4, ’s e iomadair a th’ ann a 4. Chionns gu bheil iomadachadh a’ cumail ris an Lagh Co-iomlaideach agus tha:

4 × 9 = 9 × 4

chan eil e gu diofar co dhiubh a tha na h-iomadair. Uaireannan thathar ag ràdh factaran ris an dà àireimh a tha air an iomadachadh. Tha iomadachadh a’ cumail ris an Lagh Co-thiomsach cuideachd:

3 × 4 × 5 = 12 × 5 = 60

3 × 4 × 5 = 3 × 20 = 60

’S e ionnanachd an iomadachaidh a th’ anns a h-aon. ’S e sin ri ràdh gun dèante an aon àireamh nam biodh àireamh air a h-iomadachadh leis a h-aon. Agus ’s e co-thionndadh àireimh am bloigh far a bheil an àireamh fhèin na seòrsaiche agus a h-aon na h-àireamhaiche. Mar eisimpleir ’s e co-thionndadh 5 a tha ann an ¹/₅. Dhèante a h-aon nan iomadaichte àireamh leis a’ cho-thionndadh:

¹/₅ × 5 = 1

Tha feart cudromach eile aig iomadachadh. Far a bheil iomadair agus suim, faodaidh an t-iomadair a bhith air a sgaoileadh a-measg àireamhan na suime:

7 × ( 14 + 9 – 4) = (7 × 14) + (7 × 9) − (7 × 4)

Canar Lagh an Sgaoilidh ri seo.

Roinneadh (÷ no /)

’S e roinneadh an t-obrachadh mùiteach ri iomadachadh. Canar an roinn-àireamh ri buil roinneadh duaise-roinne le roinniche.

roinn-àireamh = duais-roinn ÷ roinniche.

... agus dhèante an duais-roinn nam biodh an roinn-àireamh air a h-iomadachadh leis an roinniche. Faodaidh àireamh sam bith a bhith na roinniche ach neoni a-mhàin. Tha roinneadh le neoni gun bhrìgh. Cha chum roinneadh ris na Laghan Co-thiomsach no Co-iomlaideach agus tha e nas goireasaich a bheachdachadh oirre mar iomadachadh le co-thionndaidhean. Mar eisimpleir:

73 ÷ 21 = 73 × ¹/₂₁

Anns an riochd seo tha feartan iomadachaidh air an glèidheadh.

Cumhachdan

Ma tha àireamh air a h-iomadachadh leatha fhèin, faodar a geàrr-sgrìobhadh mar a leanas:

9² = 9 × 9

9³ = 9 × 9 × 9

9⁴ = 9 × 9 × 9 × 9.

Tha am for-sgriobta a’ sealltainn na h-uiread de naoidhean a tha air an iomadachadh le chèile mar os cionn. Canar a’ chumhachd ris an fhor-sgriobta seo. Mas a h-aon a’ chumhachd, ’s e an àireamh fhèin a th’ innte:

4¹ = 4.

Tha briathran sònraichte againn ma tha a’ chumhachd co-ionnan ris a dhà no a trì. Canaidh sinn gu bheil an àireamh ceàrnaichte no ciùbaichte fa leth. A-mach air seo canar gu bheil an àireamh (togte) chun na ceathramh/ còigeamh/ ... cumhachd. Canar bonn ris an àireimh a tha togte chun cumhachd.

Tha riaghailt chudromach iomadachaidh a dh’àireamhan leis an aon bhonn:

7² × 7³ = (7 × 7) × (7 × 7 × 7) = 7⁵.

aⁿ × a^m = a^{m + n}

’S e sin ri ràdh, ma tha dà àireimh ann leis an aon bhonn...

iomadachadh = suimeadh nan cumhachdan.

Tha e soilleir cuideachd:

$6^{3}\div 6^{2}={\frac {6\times 6\times 6}{6\times 6}}=6$

’S e sin ri ràdh gu bheil a^m ÷ aⁿ = a^{m – n}. Bhon riaghailt os cionn a^{m – n} = a^m × a^–n agus bhon tuigse gu bheil roinneadh an aon rud ri iomadachadh leis a’ cho-thionndadh:

$a^{m}\div a^{n}=a^{m}\times {\frac {1}{a^{n}}}$

tha mìneachadh air a dhèanamh air cumhachd àicheil mar a leanas:

$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$

Chionn 's gu bheil: $4\times {\tfrac {1}{4}}=1$ agus: $4\times {\tfrac {1}{4}}=4^{1}\times 4^{-1}=4^{0}$ agus gum faighear an aon bhuil le bonn sam bith, thathar a’ toirt brìgh don chumhachd neoni. ’S e a h-aon a th’ ann an àireimh sam bith chun na cumhachd neoni.

a⁰ = 1.

Cumhachdan chumhachdan

Tha 2³ = 8, agus tha 8² = 8 × 8. Mar sin tha:

(2³)² = 2³ × 2³ = 2⁶

agus tha dara riaghailt aig àireamhan leis an aon bhonn. ’S e sin...

Ma tha àireamh, a tha togte chun cumhachd, ath-thogte chun cumhachd eile, tha na cumhachdan air an iomadachadh.

’S e sin:

(a^m)ⁿ = a^{m × n}.

Freumhan

Ma tha 2² = 4 canaidh sinn gu bheil 2 na freumh ceàrnagach de 4 agus tha seo air a sgrìobhadh 2 = √4. Anns an aon dòigh, ma tha:

$3^{3}=27;\qquad 3={\sqrt[{3}]{27}}$

$4^{4}=256;\qquad 4={\sqrt[{4}]{256}}$.

’S e ${\sqrt[{3}]{}}$ am freumh ciùbach ach chan eil briathran sònraichte aig a’ chòrr. Canar an ceathramh/ còigeamh/ .../ n^mh freumh ris a’ chòrr. Chionns gu bheil:

$({\sqrt {5}})^{2}=5^{1}=(5^{\tfrac {1}{2}})^{2}$

...bho riaghailt iomadachadh nan cumhachdan, tha againne:

${\sqrt {5}}=5^{\tfrac {1}{2}}$

${\sqrt[{3}]{5}}=5^{\tfrac {1}{3}}$

${\sqrt[{4}]{5}}=5^{\tfrac {1}{4}}$

Tha e soilleir cuideachd gu bheil:

$({\sqrt[{4}]{7}})^{3}=7^{\tfrac {3}{4}}$

agus gum faod cumhachd a bhith na bloigh cuideachd.

Log-àireamhan

’S urrainnear àireamh dhearbh sam bith a’ sgrìobhadh anns an riochd aⁿ agus n na fìor-àireamh. Ma sgrìobh sinn x = aⁿ tha e soilleir nam biodh (agus a ≥ 1):

n > 1;		x > a
n = 1;		x = a
0 < n < 1;		1 < x < a
n = 0;		x = 1
n < 0;		0 < x < 1

... agus gu bheil n ann do gach luach x > 0. Chan eil n ann far am bi aⁿ = 0, agus chan eil n ann do àireamhan àicheil. Canar log-àireamh le bonn a ri n, agus sgrìobhar...

n = log_a(x)

Chan eil ann ach dà luach a tha cumanta mar bhonn log-àireamhan. Is iad seo 10 agus an àireamh sònraichte e. ’S e bonn nan log-àireamhan nàdarra a tha e, agus ’s e àireamh eucoimeasta a th’ innte

e = 2.71828182845904523536028747135...

ach tha feartan àraidh aig log-àireimh nàdarra.

log10(5) = 0.69897...		loge(5) = 1.6094379...
log10(10) = 1		loge(10) = 2.302585...
log10(50) = 1.69897...		loge(50) = 3.9120230...
log10(100) = 2		loge(100) = 4.60157...

’S e feartan nan cumhachdan feartan nan log-àireamhan. Gus dà àireimh a dh’iomadachadh, tha na log-àireamhan aca air an cur-ris. Gus àireamh a thogail chun cumhachd, tha an log-àireamh aice air iomadachadh leis a’ chumhachd.

Ann an coimpiutaireachd agus air àireamhairean, tha e cumanta a sgrìobhadh log an àite log₁₀ agus ln an àite log_e ach ann am matamataig agus ann am fiosaig, mar as cumanta ’s e brìgh log_e a th’ ann far a bheil log air a sgrìobhadh gun fho-sgriobta.

Far a bheil:

n = log (x)

agus n na log-àireamh x, thathar ag ràdh gu bheil x na h-anti-log-àireamh n.