Seata
Ann am matamataig, ’s e buidheann nithean sam bith a th’ ann an seata. Mar eisimpleir, tha na ceithir dathan: dearg, buidhe, uaine agus gorm, nam buill de sheata nan dathan uile. Ged tha bun-bheachd nan seataichean sìmplidh, ’s e fear de na smaoineasan bunaiteach ann am matamataig nar latha an-diugh. ’S e teòiridh nan seataichean sgoilearachd feartan nan seataichean, agus tha cuid mhath de mhatamataig stèidhichte air.
Mar a leanas tha geàrr-chunntas bunasach de na theirear teòiridh sìmplidh nan seataichean. Gheibh cus fiosrachadh air smaointean nas pongaile bho theòiridh aicseamach nan seataichean.
Mìneachadh
[deasaich | deasaich an tùs]’S e cruinneachadh de nithean sam bith a th’ ann an seata. Tha na nithean seo nam buill no eileamaidean den seata. Is àbhaisteach seata a chomharrachadh le litir mhòr (me. A, B, C, msaa.). Tha dà sheata co-ionnan, sgrìobhte A = B, ma tha gach ball de A na bhall de B cuideachd.
Tha na buill de sheata matamataigeach uile eadar-dhealaichte. Chan fhaod ach aon bhall den t-seòrsa a bhith ann an seata. Anns an t-seagh seo tha diofar eadar seata matamataigeach agus cleachdadh an fhacail sa chainnt chumanta làitheil.
Chan eil òrdugh aig buill an t-seata. Mar eisimpleir, biodh A na sheata anns a bheil na ceithir àireamhan 2, 4, 6 agus 8. ’S urrainnear òrdugh na h-aibidil a chur riutha, no òrdugh àireamhail, no òrdugh sam bith eile ach chan eil òrdugh ann mar thà.
Glèidhidh obrachaidhean sheata na buadhan seo.
Iomraidhean air seataichean
[deasaich | deasaich an tùs]Thathar a’ toirt iomraidh air seataichean an iomadh dòigh. Mar eisimpleir, le faclan:
- ’S e A an seata anns nach eil ach a’ chiad cheithir àireamhan slàn dearbh.
- ’S e B an seata anns nach eil ach dathan bratach na Frainge.
Faodaidh nithean eugsamhail a bhith ann an seata agus ’s e an cleachdadh liosta dhiubh a dhèanamh eadar camagan bachlach. Mar eisimpleir:
- C = { 4, 2, 1, 3 }
- D = { dearg, geal, gorm }
Faodaidh dà iomradh a bhith air an aon seata. Mar eisimpleir, mar os cionn tha A agus C co-ionnan chionn 's gu bheil na buill de A nam buill de C cuideachd, agus tha gach ball de C na bhall de A. ’S ann an seo a tha seagh “co-ionnanachd” nan seataichean, agus seagh comharra “=” nuair a sgrìobh sinn A = C. Mar an ceudna, tha B = D.
Chan eil òrdugh aig na buill agus chan eil e gu diofar co dhiù a sgrìobhar:
- C = { 4, 2, 1, 3 } = { 1, 2, 3, 4 } = { 1, 3, 2, 4 } = …
Chan ann ach aon de gach seòrsa ge b’ e air bith dè cho tric ’s a tha ball ainmichte anns an liosta. Ma tha:
- E = { dearg, geal, gorm, geal, dearg, dearg, gorm }
Chan eil ach trì dathan ann, agus tha E = D = B.
Ma tha an liosta fada, agus pàtran nam ball follaiseach, ’s urrainnear beàrn ( ... ) a chur ann. Mar eisimpleir tha a’ chiad chaogad àireamh chothromach dhearbh:
- { 2, 4, 6, 8, ..., 100 }
Anns an dòigh cheudna, tha seata nan àireamhan nàdarra corra:
- { 1, 3, 5, 7, ... }
Uaireannan tha foirmle feumail. Mar eisimpleir, ma tha F na sheata den chiad fhichead àireamhan a tha ceithir nas lugha na slàn-àireamh cheàrnaichte, ’s urrainnear a sgrìobhadh:
- F = { n² − 4 : n na shlàn-àireamh; 0 ≤ n ≤ 19 }
Thathar a’ leughadh a’ chòilein (:) “far a bheil”, agus an iomraidh gu lèir: “Tha F na sheata àireamh den riochd n² − 4, far a bheil n na shlàn-àireamh agus tha n san raon bho 0 gu 19”.
Ballrachd seata
[deasaich | deasaich an tùs]Thathar a’ comharrachadh ball no eileamaid seata le ∈, bho litir na Grèigis ε a’ riochdachadh “eileamaid de”. Mur eil rudeigin na bhall thathar a’ comharrachadh le ∉. Mar eisimpleirean:
- dearg ∈ { dearg, geal, gorm }, ach uaine ∉ D
- 4 ∈ A
- 285 ∈ F (chionn 's gu bheil 172 – 4 = 285) ach 9 ∉ F
Ma tha seata a’ gabhail a-steach eileamaid, tha seo air a chomharrachadh le ∋, agus mur eil leis a’ chomharra ∌ (me. D ∋ dearg, D ∌ uaine). Tha na comharran seo air an leughadh “a tha gabhail a-steach” no “anns a bheil an eileamaid” agus “anns nach eil an eileamaid”.
An seata bàn
[deasaich | deasaich an tùs]Mur eil ball no eileamaid sam bith anns an t-seata, ’s e an seata bàn a th’ ann agus tha an comharra sònraichte ∅ air.
- ∅ = { }
Fo-sheataichean agus for-sheataichean
[deasaich | deasaich an tùs]Ma tha gach ball den t-seata A na bhall den t-seata B cuideachd, ’s e fo-sheata B a th’ anns an A. Tha seo air a sgrìobhadh A ⊆ B. Ma tha A ⊆ B agus B ⊆ A, ’s ann a tha A = B. Ma tha A na fho-sheata B agus tha eileamaidean anns a’ B nach eil anns an A, tha A na fho-sheata fìor de B. Tha seo air a sgrìobhadh A ⊂ B, no mar A ⊊ B airson a shoilleireachadh nach eil A agus B co-ionnan. Mar eisimpleir:
- { 1, 3 } ⊂ { 1, 2, 3, 4 }
- { 1, 3, 4, 2 } ⊆ { 1, 2, 3, 4 }
Tha gach seata na fho-sheata fhèin, A ⊆ A, agus tha an seata bàn na fho-sheata de gach seata, ∅ ⊆ A. Mur eil A na fho-sheata B, thèid a sgrìobhadh A ⊈ B, no A ⊄ B.
Ma tha A na fho-sheata B, ’s e for-sheata A a th’ anns a’ B. ’S urrainnear a’ sgrìobhadh B ⊇ A. Faodaidh na comharran eile air an cur air ais cuideachd (.i. ⊃ ⊅ ⊉ ⊋).
Aonadh sheataichean
[deasaich | deasaich an tùs]’S e aonadh nan seataichean A agus B seata nan eileamaidean uile a th’ anns an A no a th’ anns a’ B. Tha seo air a sgrìobhadh: A ⋃ B. Mar eisimpleir:
- { 1, 3, 5 } ⋃ { 2, 4, 6 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Tha e soilleir gu bheil:
- A ⋃ B = B ⋃ A
- A ⋃ A = A
- A ⊆ A ⋃ B
- A ⋃ ∅ = A
Eadar-ghearradh sheataichean
[deasaich | deasaich an tùs]’S e eadar-ghearradh nan seataichean A agus B seata nan eileamaidean uile a tha an dà chuid na bhall de A agus na bhall de B. Tha seo air a sgrìobhadh: A ⋂ B. Mar eisimpleir:
- { 1, 2, 3, 4, 5 } ⋂ { 2, 3, 7, 9 } = { 2, 3 }
- { 1, 3, 5, 7 } ⋂ { 2, 4, 6, 8 } = ∅
Ma tha A ⋂ B = ∅, tha na seataichean neo-thàthach. Tha e soilleir gu bheil:
- A ⋂ B = B ⋂ A
- A ⋂ A = A
- A ⋂ B ⊆ A
- A ⋂ ∅ = ∅
Seata co-phàirteach
[deasaich | deasaich an tùs]’S e co-phàirt an t-seata A seata nan eileamaidean uile nach eil anns an t-seata A. Tha seo air an sgrìobhadh A′. Thathar a’ togail às an seo gu bheil ciall air seata anns a bheil gach nì a th’ anns a’ chruinne-cè. Tha seo ainmichte seata na h-uileachd, U, agus tha e soilleir gu bheil:
- A ⋃ A′ = U
- A ⋂ A′ = ∅
- (A′)′ = A
- U = ∅′
- U′ = ∅
Anns a’ chumantas, tha e nas feumaile bheachdachadh air seata leis na h-eileamaidean nach eil anns an t-seata A, can, ach gu bheil ann an seata eile B, can. ’S e co-phàirt dàimheach na h-A anns a’ B a tha seo, no an diofar eadar an seata B agus an seata A. Tha an diofar seo air a sgrìobhadh: B – A. Tha e soilleir gu bheil:
- A – B = A ⋂ B ′
- A – A = ∅
Seataichean sònraichte
[deasaich | deasaich an tùs]Tha grunnan seata a tha cudromach ann am matamataig agus tha ainmean sònraichte aca. Is iad seo:
- ℙ seata nam prìomh-àireamhan. ’S e sin { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... }.
- ℕ seata nan àireamhan nàdarrach. ’S e sin { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }.
- ℤ seata nan slàn-àireamhan. ’S e sin { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }.
- ℚ seata nan àireamhan coimeasta. ’S e sin { a/b : a, b ∈ ℤ; b ≠ 0 }.
- ℝ seata nam fìor-àireamhan. ’S e sin aonadh ℚ agus seata nan àireamhan eucoimeasta (.i. na h-àireamhan nach thathar a’ sgrìobhadh mar bloighean, me. π, e, agus √2).
- ℂ seata nan àireamhan co-fhillte. ’S e sin { a + b i : a, b ∈ ℝ }.
Tha ℙ ⊂ ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.
Àrdaileachd sheataichean
[deasaich | deasaich an tùs]’S e àrdaileachd seata an àireamh de bhuill no eileamaidean a th' anns an t-seata. ’S e neoni àrdaileachd an t-seata bhàin agus neo-chrìochnachd àrdaileachd nan seataichean ℙ, ℕ, ℤ, ℚ, ℝ agus ℂ.