Jump to content

Seata

O Uicipeid
(Air ath-sheòladh o Àlach)

Ann am matamataig, ’s e buidheann nithean sam bith a th’ ann an seata. Mar eisimpleir, tha na ceithir dathan: dearg, buidhe, uaine agus gorm, nam buill de sheata nan dathan uile. Ged tha bun-bheachd nan seataichean sìmplidh, ’s e fear de na smaoineasan bunaiteach ann am matamataig nar latha an-diugh. ’S e teòiridh nan seataichean sgoilearachd feartan nan seataichean, agus tha cuid mhath de mhatamataig stèidhichte air.

Mar a leanas tha geàrr-chunntas bunasach de na theirear teòiridh sìmplidh nan seataichean. Gheibh cus fiosrachadh air smaointean nas pongaile bho theòiridh aicseamach nan seataichean.

Mìneachadh[deasaich | deasaich an tùs]

’S e cruinneachadh de nithean sam bith a th’ ann an seata. Tha na nithean seo nam buill no eileamaidean den seata. Is àbhaisteach seata a chomharrachadh le litir mhòr (me. A, B, C, msaa.). Tha dà sheata co-ionnan, sgrìobhte A = B, ma tha gach ball de A na bhall de B cuideachd.

Tha na buill de sheata matamataigeach uile eadar-dhealaichte. Chan fhaod ach aon bhall den t-seòrsa a bhith ann an seata. Anns an t-seagh seo tha diofar eadar seata matamataigeach agus cleachdadh an fhacail sa chainnt chumanta làitheil.

Chan eil òrdugh aig buill an t-seata. Mar eisimpleir, biodh A na sheata anns a bheil na ceithir àireamhan 2, 4, 6 agus 8. ’S urrainnear òrdugh na h-aibidil a chur riutha, no òrdugh àireamhail, no òrdugh sam bith eile ach chan eil òrdugh ann mar thà.

Glèidhidh obrachaidhean sheata na buadhan seo.

Iomraidhean air seataichean[deasaich | deasaich an tùs]

Thathar a’ toirt iomraidh air seataichean an iomadh dòigh. Mar eisimpleir, le faclan:

’S e A an seata anns nach eil ach a’ chiad cheithir àireamhan slàn dearbh.
’S e B an seata anns nach eil ach dathan bratach na Frainge.

Faodaidh nithean eugsamhail a bhith ann an seata agus ’s e an cleachdadh liosta dhiubh a dhèanamh eadar camagan bachlach. Mar eisimpleir:

C = { 4, 2, 1, 3 }
D = { dearg, geal, gorm }

Faodaidh dà iomradh a bhith air an aon seata. Mar eisimpleir, mar os cionn tha A agus C co-ionnan chionn 's gu bheil na buill de A nam buill de C cuideachd, agus tha gach ball de C na bhall de A. ’S ann an seo a tha seagh “co-ionnanachd” nan seataichean, agus seagh comharra “=” nuair a sgrìobh sinn A = C. Mar an ceudna, tha B = D.

Chan eil òrdugh aig na buill agus chan eil e gu diofar co dhiù a sgrìobhar:

C = { 4, 2, 1, 3 } = { 1, 2, 3, 4 } = { 1, 3, 2, 4 } = …

Chan ann ach aon de gach seòrsa ge b’ e air bith dè cho tric ’s a tha ball ainmichte anns an liosta. Ma tha:

E = { dearg, geal, gorm, geal, dearg, dearg, gorm }

Chan eil ach trì dathan ann, agus tha E = D = B.

Ma tha an liosta fada, agus pàtran nam ball follaiseach, ’s urrainnear beàrn ( ... ) a chur ann. Mar eisimpleir tha a’ chiad chaogad àireamh chothromach dhearbh:

{ 2, 4, 6, 8, ..., 100 }

Anns an dòigh cheudna, tha seata nan àireamhan nàdarra corra:

{ 1, 3, 5, 7, ... }

Uaireannan tha foirmle feumail. Mar eisimpleir, ma tha F na sheata den chiad fhichead àireamhan a tha ceithir nas lugha na slàn-àireamh cheàrnaichte, ’s urrainnear a sgrìobhadh:

F = { n² − 4 : n na shlàn-àireamh; 0 ≤ n ≤ 19 }

Thathar a’ leughadh a’ chòilein (:) “far a bheil”, agus an iomraidh gu lèir: “Tha F na sheata àireamh den riochd n² − 4, far a bheil n na shlàn-àireamh agus tha n san raon bho 0 gu 19”.


Ballrachd seata[deasaich | deasaich an tùs]

Thathar a’ comharrachadh ball no eileamaid seata le ∈, bho litir na Grèigis ε a’ riochdachadh “eileamaid de”. Mur eil rudeigin na bhall thathar a’ comharrachadh le ∉. Mar eisimpleirean:

dearg ∈ { dearg, geal, gorm }, ach uaine ∉ D
4 ∈ A
285 ∈ F (chionn 's gu bheil 172 – 4 = 285) ach 9 ∉ F

Ma tha seata a’ gabhail a-steach eileamaid, tha seo air a chomharrachadh le ∋, agus mur eil leis a’ chomharra ∌ (me. D ∋ dearg, D ∌ uaine). Tha na comharran seo air an leughadh “a tha gabhail a-steach” no “anns a bheil an eileamaid” agus “anns nach eil an eileamaid”.

An seata bàn[deasaich | deasaich an tùs]

Mur eil ball no eileamaid sam bith anns an t-seata, ’s e an seata bàn a th’ ann agus tha an comharra sònraichte ∅ air.

∅ = { }

Fo-sheataichean agus for-sheataichean[deasaich | deasaich an tùs]

Ma tha gach ball den t-seata A na bhall den t-seata B cuideachd, ’s e fo-sheata B a th’ anns an A. Tha seo air a sgrìobhadh AB. Ma tha AB agus BA, ’s ann a tha A = B. Ma tha A na fho-sheata B agus tha eileamaidean anns a’ B nach eil anns an A, tha A na fho-sheata fìor de B. Tha seo air a sgrìobhadh AB, no mar AB airson a shoilleireachadh nach eil A agus B co-ionnan. Mar eisimpleir:

{ 1, 3 } ⊂ { 1, 2, 3, 4 }
{ 1, 3, 4, 2 } ⊆ { 1, 2, 3, 4 }

Tha gach seata na fho-sheata fhèin, AA, agus tha an seata bàn na fho-sheata de gach seata, ∅ ⊆ A. Mur eil A na fho-sheata B, thèid a sgrìobhadh AB, no AB.

Ma tha A na fho-sheata B, ’s e for-sheata A a th’ anns a’ B. ’S urrainnear a’ sgrìobhadh BA. Faodaidh na comharran eile air an cur air ais cuideachd (.i. ⊃ ⊅ ⊉ ⊋).

Aonadh sheataichean[deasaich | deasaich an tùs]

’S e aonadh nan seataichean A agus B seata nan eileamaidean uile a th’ anns an A no a th’ anns a’ B. Tha seo air a sgrìobhadh: AB. Mar eisimpleir:

{ 1, 3, 5 } ⋃ { 2, 4, 6 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Tha e soilleir gu bheil:

AB = BA
AA = A
AAB
A ⋃ ∅ = A

Eadar-ghearradh sheataichean[deasaich | deasaich an tùs]

’S e eadar-ghearradh nan seataichean A agus B seata nan eileamaidean uile a tha an dà chuid na bhall de A agus na bhall de B. Tha seo air a sgrìobhadh: AB. Mar eisimpleir:

{ 1, 2, 3, 4, 5 } ⋂ { 2, 3, 7, 9 } = { 2, 3 }
{ 1, 3, 5, 7 } ⋂ { 2, 4, 6, 8 } = ∅

Ma tha AB = ∅, tha na seataichean neo-thàthach. Tha e soilleir gu bheil:

AB = BA
AA = A
ABA
A ⋂ ∅ = ∅

Seata co-phàirteach[deasaich | deasaich an tùs]

’S e co-phàirt an t-seata A seata nan eileamaidean uile nach eil anns an t-seata A. Tha seo air an sgrìobhadh A′. Thathar a’ togail às an seo gu bheil ciall air seata anns a bheil gach nì a th’ anns a’ chruinne-cè. Tha seo ainmichte seata na h-uileachd, U, agus tha e soilleir gu bheil:

AA′ = U
AA′ = ∅
(A′)′ = A
U = ∅′
U′ = ∅

Anns a’ chumantas, tha e nas feumaile bheachdachadh air seata leis na h-eileamaidean nach eil anns an t-seata A, can, ach gu bheil ann an seata eile B, can. ’S e co-phàirt dàimheach na h-A anns a’ B a tha seo, no an diofar eadar an seata B agus an seata A. Tha an diofar seo air a sgrìobhadh: BA. Tha e soilleir gu bheil:

AB = AB
AA = ∅

Seataichean sònraichte[deasaich | deasaich an tùs]

Tha grunnan seata a tha cudromach ann am matamataig agus tha ainmean sònraichte aca. Is iad seo:

ℙ seata nam prìomh-àireamhan. ’S e sin { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... }.
ℕ seata nan àireamhan nàdarrach. ’S e sin { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }.
ℤ seata nan slàn-àireamhan. ’S e sin { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }.
ℚ seata nan àireamhan coimeasta. ’S e sin { a/b : a, b ∈ ℤ; b ≠ 0 }.
ℝ seata nam fìor-àireamhan. ’S e sin aonadh ℚ agus seata nan àireamhan eucoimeasta (.i. na h-àireamhan nach thathar a’ sgrìobhadh mar bloighean, me. π, e, agus √2).
ℂ seata nan àireamhan co-fhillte. ’S e sin { a + b i : a, b ∈ ℝ }.

Tha ℙ ⊂ ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.

Àrdaileachd sheataichean[deasaich | deasaich an tùs]

’S e àrdaileachd seata an àireamh de bhuill no eileamaidean a th' anns an t-seata. ’S e neoni àrdaileachd an t-seata bhàin agus neo-chrìochnachd àrdaileachd nan seataichean ℙ, ℕ, ℤ, ℚ, ℝ agus ℂ.