Cruinneadaireachd

O Uicipeid
Gearr leum gu: seòladh, lorg

’S e geoimeatras air uachdar cruinne a tha cruinneadaireachd agus tha i air leth feumail do mharaireachd agus do reul-eòlas. Air uachdar cruinne ’s e arc prìomh-chearcaill a tha an astar as giorra eadar dà phuing agus a tha a’ gabhail àite loidhne à geoimeatras raoin. Chionns gu bheil na prìomh-chearcallan uile a’ trasnadh, chan eil loidhnichean co-shìnte ann mar a th’ ann an geoimeatras raoin. Mar sin, ’s e geoimeatras neo-Eoclaideach (geoimeatras eileapsach) a tha cruinneadaireachd.

Prìomh-chearcallan agus cearcallan beaga[deasaich | edit source]

Cruinneadaireachd1.png

’S e cearcall a tha eadar-ghearradh cruinne agus raon. Ma tha an raon tro mheadhan na cruinne, tha radius a’ chearcaill agus radius na cruinne co-ionnan agus ’s e prìomh-chearcall a th’ ann (me. AB anns an diagram). Mur eil an raon tro mheadhan na cruinne ’s e cearcall beag a th’ ann (me. CD anns an diagram). Nam biodh loidhne dhìreach ann tro mheadhan M na cruinne a tha ceart-cheàrnach ri raon a’ chearcaill, rachadh e tro uachdar na cruinne aig dà phuing (P agus P′ ) a tha pòlaichean a’ chearcaill. Tha dà chearcall co-shìnte ma tha na h-aon phòlaichean aca. Chan eil ach aon phrìomh-chearcall aig paidhir phòlaichean.

Ceàrn co-chruinnein[deasaich | edit source]

Cruinneadaireachd2.png

Tha ceàrn co-chruinnein ann aig trasnadh dà phrìomh-chearcaill. Thèid mìneachadh air a dhèanamh air mar a leanas.

Beachdaich air na dà phrìomh-chearcall PA agus PB a tha a’ trasnadh aig a’ phuing P. Sgrìobh beantanan PS agus PT don dà phrìomh-chearcall fa leth. Tha PT ceart-cheàrnach do radius MP a’ phrìomh-chearcaill PB agus mar a tha e anns an raon PMB ’s ann a tha e co-shìnte ris an radius MB. Mar an ceudna tha PS co-shìnte ri MA. Tha an ceàrn SPT a’ dèanamh mìneachadh air a’ cheàrn co-chruinnein APB eadar na dà phrìomh-chearcall, agus tha seo agus an ceàrn AMB co-ionnan.

Triantan co-chruinnein[deasaich | edit source]

Cruinneadaireachd3.png

Ma tha trì puingean air uachdar cruinne, faodar dà leth a dhèanamh air a’ chruinne ’s gum bi na trì puingean air an aon leth-chruinne. Ma tha na trì puingean seo air an ceangal le arcan phrìomh-chearcall ’s e triantan co-chruinnein a th’ ann. Anns an diagram, tha AB, BC agus CA na trì taobhan den triantan cho-chruinnein ABC. Tha faide arc a’ phrìomh-chearcaill BC:

BC = r ceàrn BMC

far a bheil r a’ comharrachadh radius na cruinne, agus na ceàrnan air an tomhas le raidianan. Chionns gu bheil r cunbhalach, tha e uaireannan nas goireasaich faide arc a’ phrìomh-chearcaill a thomhas leis a’ cheàrn a nì e aig meadhan na cruinne. Mas e 60° a tha an ceàrn BMC , ’s e 60° a tha faide arc BC.

Triantain cheart-cheàrnach agus triantain cheathramhach[deasaich | edit source]

Biodh ABC na triantan co-chruinnein, agus biodh A, B agus C nan ceàrn co-chruinnein aig gach gob.

  • Nam biodh fear de na ceàrnan co-chruinnein 90°, ’s e triantan ceart-cheàrnach a bhiodh ann.
  • Nam biodh fear de na taobhan 90°, ’s e triantan ceathramhach a bhiodh ann.


Domhan-fhad agus domhan-leud[deasaich | edit source]

Cruinneadaireachd4.png

Faodar a bheachdachadh air an t-saoghal airson adhbhair ghnìomhaich mar gum biodh e co-chruinnein. Tha e a’ cuartachadh mu thrast-thomhas TD far a bheil T aig a’ Phòl a Tuath agus D aig a’ Phòl a Deas. ’S e an crios-meadhain, no meadhan-chearcall na talmhainn, prìomh-chearcall nam pòlaichean seo.

’S e domhan-loidhne no meridian a tha gach leth-phrìomh-chearcall bho T gu D. Chionns gu bheil iad uile air prìomh-chearcallan tro pòlaichean a’ chrios-mheadhain, tha iad uile ceart-cheàrnach ris. Tha co-chòrdadh eadar-nàiseanta ann gu bheil am prìomh-mheridian am fear tron Amharclann Greenwich an Sasainn agus faodar suidheachadh gach meridian eile a thomhas leis a’ cheàrn co-chruinnein eadar esan agus am prìomh-mheridian. ’S e domhan-fhad mar ainm air a’ cheàrn co-chruinnein seo agus tha e air a thomhas bho 0° gu 180° iar, no ear, air Greenwich. Ma tha am prìomh-mheridian a’ trasnadh a’ chrios-mheadhain aig L, agus meridian eile a’ trasnadh aig K, tha an ceàrn co-chruinnein eatorra agus an ceàrn KML co-ionnan.

Tha feum air dara co-chomharra gus àite sam bith a lorg air loidhne an domhan-fhaid. Tha na cearcallan beaga co-phòlarach nas freagarraich agus iadsan co-shìnte ris a’ chrios-meadhain. Tha suidheachadh cearcaill bhig air a sheulachadh gu h-iomlan le faide arc air an domhan-loidhne eadar an cearcall beag agus an crios-mheadhain. Mar eisimpleir, tha puing A air a’ chearcall bheag AB a tha astar AK (no BL) bhon chrios-mheadhain. ’S e seo an ceàrn KMA (no LMB) agus ’s e domhan-leud a theirear ris. Tha domhan-leud air a thomhas bho 0° gu 90° tuath (no deas) air a’ chrios-mheadhain.

Chionns gu bheil radius na talmhainn mu 6,380 km (aig a’ chrios-mheadhain), ’s ann mu thimcheall 100 km a tha astar arc 1°. Tha puing ceàirn air a roinn na 60 mionaidean agus gach mionaid air a roinn na 60 diog. Nam biodh feum ann ach an dealachadh a dhèanamh eadar mionaidean arc agus mionaidean uarach, theireadh arc-mhionaid agus arc-dhiog ris. ’S ann mu thimcheall 30 m a tha astar arc-dhiog. Thathar a’ lorg àite sam bith air an talamh gu h-eagnaidh, mar eisimpleir:

2° 9′ 31.43″ I, 55° 57′ 26.81″ T
63° 42′ 34.84″ I, 44° 39′ 32.73″ T

far a bheil ′ agus ″ a’ comharrachadh mhionaidean agus dhiogan, agus I, E, T no D a’ comharrachadh iar/ear air Greenwich agus tuath/deas air a’ chrios-mheadhain.

Triantanachd cho-chruinnein[deasaich | edit source]

Cruinneadaireachd5.png

Biodh ABC na triantan co-chruinnein, agus biodh A, B agus C nan ceàrn co-chruinnein aig gach gob an triantain. Biodh a, b agus c nam faide arc mu choinneimh nan ceàrnan A, B agus C fa leth. Gabhar a dhearbhadh gu bheil:

Foirmle bunaiteach triantanachd cho-chruinnein (am foirmle co-shìneiseach)[deasaich | edit source]

\cos a = \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A \,

Am foirmle sìneiseach[deasaich | edit source]

\frac{\sin A}{\sin a} =  \frac{\sin B}{\sin b} =  \frac{\sin C}{\sin c} \,


Foirmlean eile le sìneasan agus co-shìneasan[deasaich | edit source]

 \sin a \cos B =  \cos b \sin c - \sin b \cos c \cos A \,
 \sin a \cos C =  \cos c \sin b - \sin c \cos b \cos A \,

Foirmle nan ceithir pàirtean[deasaich | edit source]

 \cos a \cos C = \sin a \cot b - \sin C \cot B \,

Samhlachasan Dhelambre[deasaich | edit source]

 \sin \tfrac {1}{2}c \sin \tfrac {1}{2}(A-B) = \cos \tfrac{1}{2}C \sin \tfrac {1}{2}(a-b)
 \sin \tfrac {1}{2}c \cos \tfrac {1}{2}(A-B) = \sin \tfrac{1}{2}C \sin \tfrac {1}{2}(a+b)
 \cos \tfrac {1}{2}c \sin \tfrac {1}{2}(A+B) = \cos \tfrac{1}{2}C \cos \tfrac {1}{2}(a-b)
 \cos \tfrac {1}{2}c \cos \tfrac {1}{2}(A+B) = \sin \tfrac{1}{2}C \cos \tfrac {1}{2}(a+b)


Samhlachasan Napier[deasaich | edit source]

 \tan \tfrac {1}{2}(a+b) = \frac{ \cos \tfrac {1}{2}(A-B) } {\cos \tfrac {1}{2}(A+B)} \tan \tfrac {1}{2}c
 \tan \tfrac {1}{2}(a-b) = \frac{ \sin \tfrac {1}{2}(A-B) } {\sin \tfrac {1}{2}(A+B)} \tan \tfrac {1}{2}c
 \tan \tfrac {1}{2}(A+B) = \frac{ \cos \tfrac {1}{2}(a-b) } {\cos \tfrac {1}{2}(a+b)} \cot \tfrac {1}{2}C
 \tan \tfrac {1}{2}(A-B) = \frac{ \sin \tfrac {1}{2}(a-b) } {\sin \tfrac {1}{2}(a+b)} \cot \tfrac {1}{2}C