Àlach

O Uicipeid
Gearr leum gu: seòladh, lorg

Ann am matamataig, ’s e buidheann no seata nithean sam bith a th’ ann an àlach. Mar eisimpleir, tha na ceithir dathan: dearg, buidhe, uaine agus gorm, nam buill de dh’ àlach nan dathan uile. Ged tha bun-bheachd nan àlach simplidh, ’s e fear de na smaoineasan bunaiteach ann am matamataig nar latha an-diugh. ’S e teòiridh àlach sgoilearachd feartan nan àlach, agus tha cuid mhath de mhatamataig stèidhichte air.

Mar a leanas tha geàrr-chunntas bunasach de na theirear teòiridh àlach sìmplidh. Gheibh cus fiosrachadh air smaointean nas pongaile bho theòiridh àlach aicseamach.

Mìneachadh[deasaich | deasaich an tùs]

’S e cruinneachadh de nithean sam bith a th’ ann an àlach. Tha na nithean seo nam buill no eileamaidean den àlach. Is àbhaisteach àlach a chomharrachadh le litir mhòr (me. A, B, C, msaa.). Tha dà àlach co-ionnan, sgrìobhte A = B, ma tha gach ball de A na bhall de B cuideachd.

Tha na buill de dh’ àlach matamataigeach uile eadar-dhealaichte. Chan fhaod ach aon bhall den t-seòrsa a bhith ann an àlach. Anns an t-seagh seo tha diofar eadar àlach matamataigeach agus cleachdadh an fhacail sa chainnt chumanta làitheil.

Chan eil òrdugh aig buill an àlaich. Mar eisimpleir, biodh A na àlach anns a bheil na ceithir àireamhan 2, 4, 6 agus 8. ’S urrainnear òrdugh na h-aibidil a chur riutha, no òrdugh àireamhail, no òrdugh sam bith eile ach chan eil òrdugh ann mar thà.

Glèidhidh obrachaidhean àlach na buadhan seo.

Iomraidhean air àlaichean[deasaich | deasaich an tùs]

Thathar a’ toirt iomraidh air àlaichean an iomadh dòigh. Mar eisimpleir, le faclan:

’S e A an t-àlach anns nach eil ach a’ chiad cheithir àireamhan slàn dearbh.
’S e B an t-àlach anns nach eil ach dathan bratach na Frainge.

Faodaidh nithean eugsamhail a bhith ann an àlach agus ’s e an cleachdadh liosta dhiubh a dhèanamh eadar camagan bachlach. Mar eisimpleir:

C = { 4, 2, 1, 3 }
D = { dearg, geal, gorm }

Faodaidh dà iomradh a bhith air an aon àlach. Mar eisimpleir, mar os cionn tha A agus C co-ionnan chionns gu bheil na buill de A nam buill de C cuideachd, agus tha gach ball de C na bhall de A. ’S ann an seo a tha seagh “co-ionnanachd” nan àlach, agus seagh comharra “=” nuair a sgrìobh sinn A = C. Mar an ceudna, tha B = D.

Chan eil òrdugh aig na buill agus chan eil e gu diofar co dhiù a sgrìobhar:

C = { 4, 2, 1, 3 } = { 1, 2, 3, 4 } = { 1, 3, 2, 4 } = …

Chan ann ach aon de gach seòrsa ge b’ e air bith dè cho tric ’s a tha ball ainmichte anns an liosta. Ma tha:

E = { dearg, geal, gorm, geal, dearg, dearg, gorm }

Chan eil ach trì dathan ann, agus tha E = D = B.

Ma tha an liosta fada, agus pàtran nam ball follaiseach, ’s urrainnear beàrn ( ... ) a chur ann. Mar eisimpleir tha a’ chiad chaogad àireamh chothromach dhearbh:

{ 2, 4, 6, 8, ..., 100 }

Anns an dòigh cheudna, tha àlach nan àireamhan nàdarra corra:

{ 1, 3, 5, 7, ... }

Uaireannan tha foirmle feumail. Mar eisimpleir, ma tha F na àlach den chiad fhichead àireamhan a tha ceithir nas lugha na slàn-àireamh cheàrnaichte, ’s urrainnear a sgrìobhadh:

F = { n² − 4 : n na shlàn-àireamh; 0 ≤ n ≤ 19 }

Thathar a’ leughadh a’ chòilein (:) “far a bheil”, agus an iomraidh gu lèir: “Tha F na àlach àireamh den riochd n² − 4, far a bheil n na shlàn-àireamh agus tha n san raon bho 0 gu 19”.


Ballrachd àlach[deasaich | deasaich an tùs]

Thathar a’ comharrachadh ball no eileamaid àlaich le ∈, bho litir na Grèigis ε a’ riochdachadh “eileamaid de”. Mur eil rudeigin na bhall thathar a’ comharrachadh le ∉. Mar eisimpleirean:

dearg ∈ { dearg, geal, gorm }, ach uaine ∉ D
4 ∈ A
285 ∈ F (chionn 's gu bheil 172 – 4 = 285) ach 9 ∉ F

Ma tha àlach a’ gabhail a-steach eileamaid, tha seo air a chomharrachadh le ∋, agus mur eil leis a’ chomharra ∌ (me. D ∋ dearg, D ∌ uaine). Tha na comharran seo air an leughadh “a tha gabhail a-steach” no “anns a bheil an eileamaid” agus “anns nach eil an eileamaid”.


An t-àlach bàn[deasaich | deasaich an tùs]

Mur eil ball no eileamaid sam bith anns an àlach, ’s e an t-àlach bàn a th’ ann agus tha an comharra sònraichte \varnothing air.

\varnothing = { }


Fo-àlaichean agus for-àlaichean[deasaich | deasaich an tùs]

Ma tha gach ball den àlach A na bhall den àlach B cuideachd, ’s e fo-àlach B a th’ anns an A. Tha seo air a sgrìobhadh AB. Ma tha AB agus BA, ’s ann a tha A = B. Ma tha A na fho-àlach B agus tha eileamaidean anns a’ B nach eil anns an A, tha A na fho-àlach fìor de B. Tha seo air a sgrìobhadh AB, no mar AB airson a shoilleireachadh nach eil A agus B co-ionnan. Mar eisimpleir:

{ 1, 3 } ⊂ { 1, 2, 3, 4 }
{ 1, 3, 4, 2 } ⊆ { 1, 2, 3, 4 }

Tha gach àlach na fho-àlach fhèin, AA, agus tha an t-àlach bàn na fho-àlach de gach àlach, \varnothingA. Mur eil A na fho-àlach B, thèid a sgrìobhadh AB, no AB.

Ma tha A na fho-àlach B, ’s e for-àlach A a th’ anns a’ B. ’S urrainnear a’ sgrìobhadh BA. Faodaidh na comharran eile air an cur air ais cuideachd (.i. ⊃ ⊅ ⊉ ⊋).


Aonadh àlach[deasaich | deasaich an tùs]

’S e aonadh nan àlach A agus B àlach nan eileamaidean uile a th’ anns an A no a th’ anns a’ B. Tha seo air a sgrìobhadh: AB. Mar eisimpleir:

{ 1, 3, 5 } ⋃ { 2, 4, 6 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Tha e soilleir gu bheil:

AB = BA
AA = A
AAB
A\varnothing = A


Eadar-ghearradh àlach[deasaich | deasaich an tùs]

’S e eadar-ghearradh nan àlach A agus B àlach nan eileamaidean uile a tha an dà chuid na bhall de A agus na bhall de B. Tha seo air a sgrìobhadh: AB. Mar eisimpleir:

{ 1, 2, 3, 4, 5 } ⋂ { 2, 3, 7, 9 } = { 2, 3 }
{ 1, 3, 5, 7 } ⋂ { 2, 4, 6, 8 } = \varnothing

Ma tha AB = ∅, tha na h-àlaichean neo-thàthach. Tha e soilleir gu bheil:

AB = BA
AA = A
ABA
A\varnothing = \varnothing


Àlach co-phàirteach[deasaich | deasaich an tùs]

’S e co-phàirt an àlaich A àlach nan eileamaidean uile nach eil anns an àlach A. Tha seo air an sgrìobhadh A′. Thathar a’ togail às an seo gu bheil ciall air àlach anns a bheil gach ni a th’ anns a’ chruinne-cè. Tha seo ainmichte àlach na h-uileachd, U, agus tha e soilleir gu bheil:

AA′ = U
AA′ = \varnothing
(A′)′ = A
U = \varnothing
U ′ = \varnothing

Anns a’ chumantas, tha e nas feumaile bheachdachadh air àlach leis na h-eileamaidean nach eil anns an àlach A, can, ach gu bheil ann an àlach eile B, can. ’S e co-phàirt dàimheach na h-A anns a’ B a tha seo, no an diofar eadar an t-àlach B agus an t-àlach A. Tha an diofar seo air a sgrìobhadh: BA. Tha e soilleir gu bheil:

AB = AB
AA = \varnothing


Àlaichean sònraichte[deasaich | deasaich an tùs]

Tha grunnan àlaich a tha cudromach ann am matamataig agus tha ainmean sònraichte aca. Is iad seo:

P àlach nam prìomh-àireamhan. ’S e sin { 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... }.
N àlach nan àireamhan nàdarrach. ’S e sin { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }.
Z àlach nan slàn-àireamhan. ’S e sin { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }.
Q àlach nan àireamhan coimeasta. ’S e sin { a/b : a, bZ; b ≠ 0 }.
R àlach nam fìor-àireamhan. ’S e sin aonadh Q agus àlach nan àireamhan eucoimeasta (.i. na h-àireamhan nach thathar a’ sgrìobhadh mar bloighean, me. π, e, agus √2).
C àlach nan àireamhan co-fhillte. ’S e sin { a + b i : a, bR }.

Tha PNZQRC.

Àrdaileachd àlaich[deasaich | deasaich an tùs]

’S e àrdaileachd àlaich an àireamh de bhuill no eileamaidean a th' anns an àlach. ’S e neoni àrdaileachd an àlaich bhàin agus eicrioch àrdaileachd nan àlach P, N, Z, Q, R agus C.